Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交坐標(biāo)軸于兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，且交軸于另一點(diǎn).點(diǎn)為第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為在點(diǎn)移動(dòng)的過程中，存在求出此時(shí)的值；

（3）在拋物線上取點(diǎn)在坐標(biāo)系內(nèi)取點(diǎn)問是否存在以為頂點(diǎn)且以為邊的矩形？如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

【解析】

（1）先利用一次函數(shù)與坐標(biāo)軸相交，求出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線解析式及A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出交點(diǎn)式，再將C的坐標(biāo)代入求出a的值即可得到拋物線解析式；

（2）如圖，過點(diǎn)D作DM⊥BC于M，點(diǎn)P（m，m＋3），點(diǎn)D（m，m2＋2m＋3），利用參數(shù)求出DM，CM的長(zhǎng)，由銳角三角函數(shù)可求解；
（3）分兩種情況討論，當(dāng)CE⊥BC時(shí)或BE⊥BC時(shí)，分別求出直線CE的方程或BE的方程，聯(lián)立方程組可求解．

直線交坐標(biāo)軸于兩點(diǎn)，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為

點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為

設(shè)拋物線的解析式為．

將代入．

得

拋物線解析式為．

過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖1所示

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為

．

在中，

在中，

在中，，

在中，．

在中，

，

在中，由勾股定理，

得

又

解得(舍去)，

的值為

（3）存在，
若CE⊥BC時(shí)，
∴直線CE解析式為：y＝x＋3，
∴
∴(舍去)或者
∴點(diǎn)E坐標(biāo)（1，4），
若BE⊥BC時(shí)，
∴直線BE解析式為：y＝x3，
∴
∴（舍去），或者
∴點(diǎn)E坐標(biāo)（2，5），
綜上所述：當(dāng)點(diǎn)E（1，4）或（2，5）時(shí)，以C、B、E、F為頂點(diǎn)且以CB為邊的矩形．