Question

【題目】如圖，A（0，4）是直角坐標(biāo)系y軸上一點(diǎn)，動點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正半軸運(yùn)動，速度為每秒1個單位長度，以P為直角頂點(diǎn)在第一象限內(nèi)作等腰Rt△APB．設(shè)P點(diǎn)的運(yùn)動時(shí)間為t秒．

（1）若AB//x軸，如圖一，求t的值；

（2）當(dāng)t=3時(shí)，坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)M（不與A重合），使得以M、P、B為頂點(diǎn)的三角形和△ABP全等，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為,連接，在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中，∠的度數(shù)是否會發(fā)生變化，若不變，請求出∠的度數(shù)，若改變，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）4； （2）（4，7）, （6，-4）, （10，-1）；（3）45°

【解析】試題分析： 由軸，可找出四邊形為長方形，再根據(jù) 為等腰三角形可得知 從而得出為等腰直角三角形，由此得出結(jié)論；
由全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論，注意分類討論；
由等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

試題解析：（1）過點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，如圖1所示．

∵AO⊥x軸，BC⊥x軸，且AB//x軸，

∴四邊形ABCO為長方形，

∴AO=BC=4．

∵△APB為等腰直角三角形，

∴AP=BP，∠PAB=∠PBA=45°，

∴∠OAP=90°﹣∠PAB=45°，

∴△AOP為等腰直角三角形，

∴OA=OP=4．

t=4÷1=4（秒），

故t的值為4．

（2）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，7）, （6，-4）, （10，-1）

（3）答：

∵△APB為等腰直角三角形，

∴∠APO+∠BPC=180°﹣90°=90°．

又∵∠PAO+∠APO=90°，

∴∠PAO=∠BPC．

在△PAO和△BPC中，

∴△PAO≌△BPC，

∴AO=PC，BC=PO．

∵點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)P（t，0）

∴PC=AO=4，BC=PO=t，CO=PC+PO=4+ t

∴點(diǎn)

∴過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

為等腰直角三角形.

∴∠=45°.