Question

如圖，△ABC中，E、F分別是AB、AC上的點(diǎn)．
①AD平分∠BAC，②DE⊥AB，DF⊥AC，③AD⊥EF．
以此三個(gè)中的兩個(gè)為條件，另一個(gè)為結(jié)論，可構(gòu)成三個(gè)命題，即：
①②?③，①③?②，②③?①．
（1）試判斷上述三個(gè)命題是否正確（直接作答）；
（2）請(qǐng)證明你認(rèn)為正確的命題．

Answer 1

分析：根據(jù)已知及全等三角形的判定方法進(jìn)行分析，從而得到命題的真假．

解答：解：（1）①②?③，正確；①③?②，錯(cuò)誤，不符合三角形的判定；②③?①，正確．

（2）先證①②?③．如圖．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，AD=AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF．
∴DE=DF，∠ADE=∠ADF．
設(shè)AD與EF交于G，則△DEG≌△DFG，
∴∠DGE=∠DGF．
∴∠DGE=∠DGF=90°．
∴AD⊥EF．
再證②③?①．如圖2，

設(shè)AD的中點(diǎn)為O，連接OE，OF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴OE，OF分別是Rt△ADE，Rt△ADF斜邊上的中線．
∴OE=

1

2

AD，OF=

1

2

AD．
即點(diǎn)O到A、E、D、F的距離相等．
∴四點(diǎn)A、E、D、F在以O(shè)為圓心，

1

2

AD為半徑的圓上，AD是直徑．
∴EF是⊙O的弦．
∵EF⊥AD，
∴∠DAE=∠DAF．
即AD平分∠BAC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形全等的判定定理和性質(zhì)，同時(shí)考查了垂徑定理等知識(shí)的綜合運(yùn)用．