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        1. 【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,動點M、N從點C同時出發(fā),均以每秒1cm的速度分別沿CA、CB向終點A、B移動,同時動點P從點B出發(fā),以每秒2cm的速度沿BA向終點A移動,連接PM,PN,MN,設(shè)移動時間為t(單位:秒,0<t<2.5).

          (1)當(dāng)時間為t秒時,點P到BC的距離為 cm.

          (2)當(dāng)t為何值時,以A,P,M為頂點的三角形與△ABC相似?

          (3)是否存在某一時刻t,使四邊形APNC的面積S有最小值?若存在,求S的最小值;若不存在,請說明理由.

          【答案】(1);(2).(3) 當(dāng)t=時,四邊形APNC的面積S有最小值,其最小值是

          【解析

          試題分析:(1)先根據(jù)勾股定理求出AB的長,過點P作PH⊥BC于點H,構(gòu)造平行線PH∥AC,由平行線分線段成比例求得以t表示的PH的值;

          (2)分類討論:△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC兩種情況.利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例來求t的值;

          (3)根據(jù)“S=S△ABC-S△BPH”列出S與t的關(guān)系式S=(t-2+(0<t<2.5),則由二次函數(shù)最值的求法即可得到S的最小值.

          試題解析:(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,

          AB=5cm,

          過P作PH⊥BC于H,則∠PHB=∠C=90°,

          ∠B=∠B,

          △BPH∽△BAC,

          ,

          解得:PH=(cm),

          (2)以A,P,M為頂點的三角形與△ABC相似,分兩種情況:

          ①當(dāng)△AMP∽△ABC時,,即

          解得t=;

          ②當(dāng)△APM∽△ABC時,,即,

          解得t=0(不合題意,舍去);

          綜上所述,當(dāng)t=秒時,以A、P、M為頂點的三角形與△ABC相似;

          (3)存在某一時刻t,使四邊形APNC的面積S有最小值.理由如下:

          假設(shè)存在某一時刻t,使四邊形APNC的面積S有最小值.

          如圖,由(1)知:PH=

          S=S△ABC-S△BPN,

          =×3×4-×(3-t)t,

          =(t-2+(0<t<2.5).

          >0,

          S有最小值.

          當(dāng)t=時,S最小值=

          答:當(dāng)t=時,四邊形APNC的面積S有最小值,其最小值是

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