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        1. 在□ABCD中,AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC,交CD于點E、F,AE、BF相交于點M.
          (1)試說明:AE⊥BF;
          (2)判斷線段DF與CE的大小關系,并說明理由.

          (1)證明見解析;(2)DF=CE.理由見解析.

          解析試題分析:(1)因為AE,BF分別是∠DAB,∠ABC的角平分線,那么就有∠MAB=∠DAB,∠MBA=∠ABC,而∠DAB與∠ABC是同旁內角互補,所以,能得到∠MAB+∠MBA=90°,即得證.
          (2)兩條線段相等.利用平行四邊形的對邊平行,以及角平分線的性質,可以得到△ADE和△BCF都是等腰三角形,那么就有CF=BC=AD=DE,再利用等量減等量差相等,可證.
          (1)∵在?ABCD中,AD∥BC,
          ∴∠DAB+∠ABC=180°.(1分)
          ∵AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC,
          ∴∠DAB=2∠BAE,∠ABC=2∠ABF.
          ∴2∠BAE+2∠ABF=180°.
          即∠BAE+∠ABF=90°.
          ∴∠AMB=90°.
          ∴AE⊥BF.
          (2)線段DF與CE是相等關系,即DF=CE,
          ∵在?ABCD中,CD∥AB,
          ∴∠DEA=∠EAB.
          又∵AE平分∠DAB,
          ∴∠DAE=∠EAB.
          ∴∠DEA=∠DAE.
          ∴DE=AD.(6分)
          同理可得,CF=BC.
          又∵在?ABCD中,AD=BC,
          ∴DE=CF.
          ∴DE-EF=CF-EF.
          即DF=CE.
          考點:1.相似三角形的判定與性質;2.角平分線的性質;3.平行四邊形的性質.

          練習冊系列答案
          相關習題

          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:填空題

          在平行四邊形ABCD中,E在DC上,若DE:EC=1:2,則BF:BE=       

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

          如圖,在?ABCD中,E,F(xiàn)分別為BC,AB中點,連接FC,AE,且AE與FC交于點G,AE的延長線與DC的延長線交于點N.
          (1)求證:△ABE≌△NCE;
          (2)若AB=3n,F(xiàn)B=GE,試用含n的式子表示線段AN的長.

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

          如圖,△ABC中,AB=AC,作以AB為直徑的⊙O與邊BC交于點D,過點D作⊙O的切線,分別交AC、AB的延長線于點E、F.
          (1)求證:EF⊥AC;
          (2)若BF=2,CE=1.2,求⊙O的半徑.

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

          如果三角形有一邊上的中線長恰好等于這邊的長,那么稱這個三角形為“好玩三角形”.
          (1)請用直尺和圓規(guī)畫一個“好玩三角形”;
          (2)如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA= ,求證:△ABC是“好玩三角形”;
          (3)如圖2,已知菱形ABCD的邊長為a,∠ABC=2β,點P,Q從點A同時出發(fā),以相同速度分別沿折線AB﹣BC和AD﹣DC向終點C運動,記點P經(jīng)過的路程為s.
          ①當β=45°時,若△APQ是“好玩三角形”,試求的值;
          ②當tanβ的取值在什么范圍內,點P,Q在運動過程中,有且只有一個△APQ能成為“好玩三角形”.請直接寫出tanβ的取值范圍.
          (4)依據(jù)(3)的條件,提出一個關于“在點P,Q的運動過程中,tanβ的取值范圍與△APQ是‘好玩三角形’的個數(shù)關系”的真命題(“好玩三角形”的個數(shù)限定不能為1)

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

          如圖,△ABC是一張銳角三角形的硬紙片,AD是邊BC上的高,BC=40 cm,AD=30 cm,從這張硬紙片上剪下一個長HG是寬HE的2倍的矩形EFGH,使它的一邊EF在BC上,頂點G、H分別在AC、AB上,AD與HG的交點為M. 求矩形的長與寬.

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

          已知矩形OABC的頂點O(0,0)、A(4,0)、B(4,-3).動點P從O出發(fā),以每秒1個單位的速度,沿射線OB方向運動.設運動時間為t秒.
          (1)求P點的坐標(用含t的代數(shù)式表示);
          (2)如圖,以P為一頂點的正方形PQMN的邊長為2,且邊PQ⊥y軸.設正方形PQMN與矩形OABC的公共部分面積為S,當正方形PQMN與矩形OABC無公共部分時,運動停止.
          ①當t<4時,求S與t之間的函數(shù)關系式;
          ②當t>4時,設直線MQ、MN分別交矩形OABC的邊BC、AB于D、E,問:是否存在這樣的t,使得△PDE為直角三角形?若存在,請求出所有符合條件的t的值;若不存在,請說明理由.

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

          已知AD⊥BC,BE=CE,∠ABC=2∠C,BF為∠B的平分線.求證:AB=2DE.

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

          提出問題:如圖①,在四邊形ABCD中,點E、F是AD的n等分點中最中間2個,點G、H是BC的n等分點中最中間2個,(其中n為奇數(shù)),連接EG、FH,那么S四邊形EFHG與S四邊形ABCD之間有什么關系呢?
                                                   
          探究發(fā)現(xiàn):為了解決這個問題,我們可以先從一些簡單的、特殊的情形入手:
          (1)如圖②:四邊形ABCD中,點E、F是AD的3等分點,點G、H是BC的3等分點,連接EG、FH,那么S四邊形EFHG與S四邊形ABCD之間有什么關系呢?
          如圖③,連接EH、BE、DH,

          因為△EGH與△EBH高相等,底的比是1:2,
          所以SEGH=SEBH
          因為△EFH與△DEH高相等,底的比是1:2,
          所以SEFH=SDEH
          所以SEGH+SEFH=SEBH +SDEH
          即S四邊形EFHG=S四邊形EBHD
          連接BD,
          因為△DBE與△ABD高相等,底的比是2:3,
          所以SDBE=SABD
          因為△BDH與△BCD高相等,底的比是2:3,
          所以SBDH=SBCD
          所以SDBE +SBDH=SABD+SBCD =(SABD+SBCD)
          =S四邊形ABCD
          即S四邊形EBHD=S四邊形ABCD
          所以S四邊形EFHG=S四邊形EBHD=×S四邊形ABCD=S四邊形ABCD
          (1)如圖④:四邊形ABCD中,點E、F是AD的5等分點中最中間2個,點G、H是BC的5等分點中最中間2個,連接EG、FH,猜想:S四邊形EFHG與S四邊形ABCD之間有什么關系呢                       
          驗證你的猜想:

          (2)問題解決:如圖①,在四邊形ABCD中,點E、F是AD的n等分點中最中間2個,點G、H是BC的n等分點中最中間2個,連接EG、FH,(其中n為奇數(shù))
          那么S四邊形EFHG與S四邊形ABCD之間的關系為:                            (不必寫出求解過程)

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