Question

在□ABCD中，AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC，交CD于點E、F，AE、BF相交于點M．
（1）試說明：AE⊥BF；
（2）判斷線段DF與CE的大小關系，并說明理由．

Answer 1

(1)證明見解析；（2）DF=CE．理由見解析.

解析試題分析：（1）因為AE，BF分別是∠DAB，∠ABC的角平分線，那么就有∠MAB=∠DAB，∠MBA=∠ABC，而∠DAB與∠ABC是同旁內角互補，所以，能得到∠MAB+∠MBA=90°，即得證．
（2）兩條線段相等．利用平行四邊形的對邊平行，以及角平分線的性質，可以得到△ADE和△BCF都是等腰三角形，那么就有CF=BC=AD=DE，再利用等量減等量差相等，可證．
（1）∵在?ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°．（1分）
∵AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC，
∴∠DAB=2∠BAE，∠ABC=2∠ABF．
∴2∠BAE+2∠ABF=180°．
即∠BAE+∠ABF=90°．
∴∠AMB=90°．
∴AE⊥BF．
（2）線段DF與CE是相等關系，即DF=CE，
∵在?ABCD中，CD∥AB，
∴∠DEA=∠EAB．
又∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB．
∴∠DEA=∠DAE．
∴DE=AD．（6分）
同理可得，CF=BC．
又∵在?ABCD中，AD=BC，
∴DE=CF．
∴DE-EF=CF-EF．
即DF=CE．
考點：1.相似三角形的判定與性質；2.角平分線的性質；3.平行四邊形的性質．