Question

（2013•鞍山一模）如圖，在平面直角著坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=

3

x+3

3

的圖象與x軸交與點A，與y軸交與點B，點C為x軸上一點，且滿足AB=BC．
（1）求點C的點坐標(biāo)．
（2）若點P是線段BC延長線上一動點，連接AP，作線段AP的垂直平分線，交AP于點D，交y軸于點E，連接EA，EP，EC，EC交AP于點F．
①點P在移動過程中，∠AEP的角度是否發(fā)生變化？為什么？
②若S_△AEF-S_△CFP=2

3

，求直線AP的解析式．

Answer 1

分析：（1）由一次函數(shù)y=

3

x+3

3

就可以求出A的坐標(biāo)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)就可以求出OA=OC，就可以求出C的坐標(biāo)；
（2）如圖1，作EM⊥AB于點M，EN⊥BC于N，證明Rt△AME≌Rt△PNE就可以得出∠AEM=∠PEN，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和就可以求出∠MEN的度數(shù)，進(jìn)而求出∠AEP的度數(shù)；
（3）如圖2，作PC⊥x軸于點G，在Rt△PGC中，PC=t，CG=

1

2

，PG=

3

2

t，由勾股定理就可以求出BE的值，進(jìn)而求出OE，運(yùn)用三角形的面積建立等式求出P的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法就可以求出結(jié)論．

解答：解：（1）如圖1∵一次函數(shù)數(shù)y=

3

x+3

3

的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B．
當(dāng)y=時，x=-3，當(dāng)x=0時，y=3

3

，
∴A（-3，0），B（0，3 ）
∴OA=3．
∵AB=BC，
∴OA=OC=3，
∴C（3，0）．
答：C點的坐標(biāo)為（3，0）；
（2）①∠AEP=120°
理由：∵y軸⊥AC，OA=OC．
∴AB=BC
在Rt△AOB中，tan∠BAO=

BO

AO

=

3

，
∴∠BAC=60°
∴△ABC是等邊三角形；
∴AC=BC=AB=6．
如圖1，作EM⊥AB于點M，EN⊥BC于N，
∴∠AME=∠PNE=90°．
∴∠MEN=120°
∵y軸垂直平分AC，△ABC是等邊三角形，
∴EA=EC，∠BEA=∠BEC=

1

2

∠AEC，∠EBP=30°，
∴EM=EN．
∴∠BEM=60°．
∵ED垂直平分AP，
∴EA=EP，
∴EA=EC=EP，
∴EN垂直平分CP，
∴CN=

1

2

PC．
在Rt△AME和Rt△PNE中，

AE=AP EM=EN

，
∴Rt△AME≌Rt△PNE（HL），
∴∠AEM=∠PEN．
∵∠AEM+∠AEN=120°，
∴∠PEN+∠AEN=∠AEP=120°
（3）如圖2，作PC⊥x軸于點G，
在Rt△PGC中，PC=t，CG=

1

2

，PG=

3

2

t，
∴CH=

1

2

t，BH=6+

1

2

t．
在Rt△BEH 中，

EH

BH

=

3

3

∴

EH

6+ 1 2 t

=

3

3

，
∴EH=

3

3

（6+

1

2

t），
由勾股定理，得
BE=

3

3

t+4

3

，
EO=BE-BO=

3

3

t+

3

．
∵S_△AEF-S_△CFP=2

3

，
∴S_△AEF+S_△AFC-（S_△CFP+S_△AFC）=2

3

∴S_△EAC-S_△PAC=2

3

．
∵S_△EAC=

1

2

AC•EO=

1

2

×6×（

3

3

t+

3

）=

3

t+3

3

，
S_△PAC=

1

2

AC•PG=

1

2

×6×

3

2

t=

3 3

2

t，
∴

3

t+3

3

-

3 3

2

t=2

3

，
∴t=2．
∴PG=

3

，CG=1，
∴OG=4，
∴P（4，-

3

）．
設(shè)直線AP的解析式為y=kx+b，由題意，得

0=-3k+b - 3 =4k+b

，
解得：

k=- 3 7 b=- 3 3 7

，
∴直線AP的解析式為：y=-

3

7

x-

3 3

7

．

點評：本題考查了一次函數(shù)的解析式的性質(zhì)的運(yùn)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，特殊角的三角形函數(shù)值的運(yùn)用，解答時巧妙運(yùn)用三角形的面積之間的等量關(guān)系建立方程求出點P的坐標(biāo)是關(guān)鍵．