Question

直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，菱形ABCD如圖放置在平面直角坐標(biāo)系中，其中點(diǎn)D在x軸負(fù)半軸上，直線y=x+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，交x軸于點(diǎn)E．
①請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C、點(diǎn)D的坐標(biāo)，并求出m的值；
②點(diǎn)P（0，t）是線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與O、B重合），經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且平行于x軸的直線交AB于M、交CE于N．設(shè)線段MN的長(zhǎng)度為d，求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫自變量的取值范圍）；
③點(diǎn)P（0，t）是y軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為何值時(shí)點(diǎn)P、C、D恰好能組成一個(gè)等腰三角形？

Answer 1

（1）m=9；（2）；（3）t=4，或t=，t=時(shí)，△PCD均為等腰三角形.

解析試題分析：（1）由直線的解析式可求出A和B點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求出點(diǎn)C、點(diǎn)D的坐標(biāo)，把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入直線y=x+m即可求出m的值；
（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x_M，t），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x_N，t），首先求出x_M=﹣t+3，再求出x_N=t﹣9，進(jìn)而得到d=x_M﹣x_N=﹣t+3﹣（t﹣9）=﹣t+12；
（3）由A和B的坐標(biāo)可求出AB的長(zhǎng)，再分三種情況分別討論求出符合題意的t值即可．
試題解析：（1）∵直線y=﹣x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），
∵四邊形ABCD是菱形，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣5，4），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣2，0），
∵直線y=x+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，
∴m=9，
（2）∵M(jìn)N 經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（0，t）且平行于x軸，
∴可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x_M，t），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x_N，t），
∵點(diǎn)M在直線AB上，
直線AB的解析式為y=﹣x+4，
∴t=，得x_M=﹣t+3，
同理點(diǎn)N在直線CE上，直線CE的解析式為y=x+9，
∴t=x_N+9，得x_N=t﹣9，
∵M(jìn)N∥x軸且線段MN的長(zhǎng)度為d，
∴d=x_M﹣x_N=﹣t+3﹣（t﹣9）=﹣t+12；
（3）∵直線AB的解析式為y=﹣x+4，
∴點(diǎn)A 的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），AB=5，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=5，
∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，△PCD即為△BCD是一個(gè)等腰三角形，此時(shí)=4；
∵點(diǎn)P（0，t）是y軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴OP=t，PB=|t﹣4|，
∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣2，0），
∴OD=2，由勾股定理得PD²=OD²+OP²=4+t²，
同理，CP²=BC²+BP²=25+（t﹣4）²，
當(dāng)PD=CD=5時(shí)，PD²=4+t²=25，
∴t=（舍負(fù)），
當(dāng)PD=CP時(shí)，PD²=CP²，4+t²=25+（t﹣4）²，
∴t=，
綜上所述，t=4，或t=，t=時(shí)，△PCD均為等腰三角形．

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題