Question

【題目】如圖，AB、AC分別是⊙O的直徑和弦，點D為劣弧AC上一點，弦DE⊥AB分別交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延長線上一點且PC=PF．

（1）求證：PC是⊙O的切線；

（2）若點D是劣弧AC的中點，OH=1，AH=2，求弦AC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）AC=4．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，證得∠PCF+∠AC0=90°，即OC⊥PC，即可證得結(jié)論；

（2）先根據(jù)勾股定理求出DH，再通過證明△OGA≌△OHD，得出AC=2AG=2DH，求出弦AC的長．

試題解析：（1）連接OC，∵OA=OC，∴∠ACO=∠OAC，∵PC=PF，

∴∠PCF=∠PFC，∵DE⊥AB，∴∠OAC+∠AFH=90°，

∵∠PDF=∠AFH，

∴∠PFC+∠OAC=90°，

∴∠PCF+∠AC0=90°，

即OC⊥PC，

∴PC是⊙O的切線；

（2）連接OD交AC于G．

∵OH=1，AH=2，

∴OA=3，即可得OD=3，

∴DH===2．

∵點D在劣弧AC中點位置，∴AC⊥DO，∴∠OGA=∠OHD=90°，

在△OGA和△OHD中，

，

∴△OGA≌△OHD（AAS），

∴AG=DH，

∴AC=4．