Question

如圖，∠MBN的兩邊BM，BN上分別有兩點A、C，滿足BC=2BA，作?ABCD，取AD的中點E，作CF⊥CD，CF與AB所在的直線交于點F．
（1）當∠B=90°時，直接寫出∠DEF的度數(shù)；
（2）在射線BM繞B點旋轉的過程中，若∠B=x°，∠DEF=y°（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°），求：y關于x的函數(shù)解析式及相應自變量x的取值范圍．

Answer 1

解：在?ABCD中，AD=BC．
（1）如圖1，當∠B=90°時，?ABCD是矩形，則點F與點B重合．
∵BC=2BA，點E是AD的中點．
∴AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=45°，
∴∠DEF=180°-∠AEB=135°，即∠DEF=135°；

（2）對∠B的大小分四種情況討論如下：
①當60°＜∠B≤90°時，點F在線段AB上，如圖2，連接BE并延長與CD的延長線交于點G，記∠AFE=α．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AD=BC，AB=CD，∠3=∠B=x°．
∴∠DGE=∠AFE=α．
可得△AEF≌△DEG．
∴EF=EG，CE為Rt△CFG斜邊的中線．
∴EF=EG，∠1=∠G=α．
∵BC=2AB，
∴2DE=2CD，DE=CD．
∴等腰三角形△CDE中，∠1==90°-=α．
∴∠DEF=180°-∠2=180°-（∠3-∠G）=180°-（x-α）=270°-．　　　 　　　　　　　　
由（1）知，當∠B=90°時，點F與點B重合，
此時∠DEF=135°，270°-=270°-×90°=135°，
所以y=270°-仍成立；

②當∠B=60°時，點F與點A重合，∠DEF=180°不合題意（如圖3）．

③當90°＜∠B＜180°時，點F在線段AB的延長線上（如圖4）．與①同理可得270°-仍成立；

④當0°＜∠B＜60°時，點F在線段BA的延長線上（如圖5）．
與①同理可得CE為Rt△CFG斜邊的中線，EC=EG，DE=CD．
∴△CEG和△CDE為等腰三角形．
在等腰三角形△CEG中，∠1=180°-2∠2，
在等腰三角形△CDE中，∠CED=∠2==，
∴∠DEF=180°-∠3=180°-（∠CED-∠1）=360°-3∠2=90°+x．
綜合上述：當0°＜∠B＜60°時，y=90°+x．
當60°＜∠B＜180°時，y=270°-x．
分析：（1）如圖1，當∠B=90°時，?ABCD是矩形，則點F與點B重合．易證△ABE是等腰直角三角形，則∠AEB=45°．則∠DEF=180°-∠AEB=135°；
（2）對∠B的大小分四種情況討論如下：①當60°＜∠B≤90°時，點F在線段AB上，y=270°-；②當∠B=60°時，點F與點A重合，∠DEF=180°不合題意（如圖3）．
③當90°＜∠B＜180°時，點F在線段AB的延長線上（如圖4）．與①同理可得270°-仍成立；④當0°＜∠B＜60°時，點F在線段BA的延長線上，（如圖5）
y=90°+x．
點評：本題考查了平行四邊形的性質．難度較大，需要分類討論，以防漏解．