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        1. 【題目】如圖,是將拋物線平移后得到的拋物線,其對稱軸為,與軸的一個交點為,另一交點為,與軸交點為

          1)求拋物線的函數(shù)表達式;

          2)若點為拋物線上一點,且,求點的坐標;

          3)點是拋物線上一點,點是一次函數(shù)的圖象上一點,若四邊形為平行四邊形,這樣的點是否存在?若存在,分別求出點的坐標,若不存在,說明理由.

          【答案】(1)y=﹣x2+2x+3(2)(1,4)(3)P、Q的坐標是(0,3),(1,3)或(,)、(,

          【解析】

          試題分析:(1)已知拋物線的對稱軸,因而可以設(shè)出頂點式,利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式;

          (2)首先求得B和C的坐標,易證OBC是等腰直角三角形,過點N作NHy軸,垂足是H,設(shè)點N縱坐標是(a,﹣a2+2a+3),根據(jù)CH=NH即可列方程求解;

          (3)四邊形OAPQ是平行四邊形,則PQ=OA=1,且PQOA,設(shè)P(t,﹣t2+2t+3),代入y=x+,即可求解.

          試題解析:(1)設(shè)拋物線的解析式是y=﹣(x﹣1)2+k.

          把(﹣1,0)代入得0=﹣(﹣1﹣1)2+k,

          解得k=4,

          則拋物線的解析式是y=﹣(x﹣1)2+4,即y=﹣x2+2x+3;

          (2)在y=﹣x2+2x+3中令x=0,則y=3,即C的坐標是(0,3),OC=3.

          B的坐標是(3,0),

          OB=3,

          OC=OB,則OBC是等腰直角三角形.

          ∴∠OCB=45°,

          過點N作NHy軸,垂足是H.

          ∵∠NCB=90°,

          ∴∠NCH=45°,

          NH=CH,

          HO=OC+CH=3+CH=3+NH,

          設(shè)點N縱坐標是(a,﹣a2+2a+3).

          a+3=﹣a2+2a+3,

          解得a=0(舍去)或a=1,

          N的坐標是(1,4);

          (3)四邊形OAPQ是平行四邊形,則PQ=OA=1,且PQOA,

          設(shè)P(t,﹣t2+2t+3),代入y=x+,則﹣t2+2t+3=(t+1)+,

          整理,得2t2﹣t=0,

          解得t=0或

          ﹣t2+2t+3的值為3或

          P、Q的坐標是(0,3),(1,3)或(,)、(,).

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