Question

【題目】如圖，∠AOB＝30°，M，N分別是OA，OB上的定點(diǎn)，P，Q分別是邊OB，OA上的動點(diǎn)，如果記∠AMP＝，∠ONQ＝，當(dāng)MP＋PQ＋QN最小時(shí)，則與的數(shù)量關(guān)系是_________________.

Answer 1

【答案】α－β＝90°

【解析】

分別作點(diǎn)M,N關(guān)于OB,OA的對稱點(diǎn),連接，交OA于點(diǎn)Q,交OB于點(diǎn)P時(shí)MP＋PQ＋QN有最小值.通過三角形的內(nèi)角和與外角和性質(zhì)可得出， 從而得出兩者間的關(guān)系.

解：如圖，作M關(guān)于OB的對稱點(diǎn)M′，N關(guān)于OA的對稱點(diǎn)N′，連接M′N′交OA于Q，交OB于P，則MP+PQ+QN最小，

易知∠OPM=∠OPM′=∠NPQ，∠OQP=∠AQN′=∠AQN，
∵∠OQN=180°-30°-∠ONQ，∠OPM=∠NPQ=30°+∠OQP，

∠OQP=∠AQN=30°+∠ONQ，
∴．

∵，

∴

故答案為：.