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        1. 【題目】問題背景:
          如圖①,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,E,F(xiàn)分別是BC、CD上的點,且∠EAF=60°.探究圖中線段BE,EF,F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系.

          (1)小明同學探究此問題的方法是,延長FD到點G,使DG=BE,連接AG,先證明△ABE≌ADG,再證明△AEF≌△AGF,可得出結(jié)論,他的結(jié)論應是
          (2)探索延伸:
          如圖②,若在四邊形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°.E,F(xiàn)分別是BC,CD上的點,且∠EAF= ∠BAD,上述結(jié)論是否仍然成立,請說明理由;
          (3)實際應用:
          如圖③,在某次軍事演習中,艦艇甲在指揮中心O北偏西30°的A處,艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處,并且兩艦艇到指揮中心的距離相等,接到行動指令后,艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進,艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進,2小時后,指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E,F(xiàn)處,當∠EOF=70°時,兩艦艇之間的距離是海里.

          (4)能力提高:
          如圖④,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點M,N在邊BC上,且∠MAN=45°.若BM=1,CN=3,則MN的長為

          【答案】
          (1)EF=BE+DF
          (2)

          解:結(jié)論EF=BE+DF仍然成立;

          理由:延長FD到點G.使DG=BE.連結(jié)AG,如圖②,

          在△ABE和△ADG中,

          ∴△ABE≌△ADG(SAS),

          ∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,

          ∵∠EAF= ∠BAD,

          ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF,

          ∴∠EAF=∠GAF,

          在△AEF和△GAF中, ,

          ∴△AEF≌△AGF(SAS),

          ∴EF=FG,

          ∵FG=DG+DF=BE+DF,

          ∴EF=BE+DF;


          (3)280
          (4)
          【解析】解:(1.)EF=BE+DF,證明如下:
          在△ABE和△ADG中, ,
          ∴△ABE≌△ADG(SAS),
          ∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,
          ∵∠EAF= ∠BAD,
          ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF,
          ∴∠EAF=∠GAF,
          在△AEF和△GAF中,
          ∴△AEF≌△AGF(SAS),
          ∴EF=FG,
          ∵FG=DG+DF=BE+DF,
          ∴EF=BE+DF;
          所以答案是 EF=BE+DF.
          (3.)如圖③,連接EF,延長AE、BF相交于點C,

          ∵∠AOB=30°+90°+(90°﹣70°)=140°,∠EOF=70°,
          ∴∠EOF= ∠AOB,
          又∵OA=OB,∠OAC+∠OBC=(90°﹣30°)+(70°+50°)=180°,
          ∴符合探索延伸中的條件,
          ∴結(jié)論EF=AE+BF成立,
          即EF=2×(60+80)=280海里.
          答:此時兩艦艇之間的距離是280海里;
          所以答案是:280;
          (4.)如圖4,

          將△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ACD,
          ∴△ABM≌△ACD,
          ∴∠AMB=∠ADC,∠BAM=∠CAM,AM=AD,BM=CD=1,
          ∵∠AMB+∠AMC=90°,
          ∴∠AMC+∠ADC=180°,
          ∴∠MAD+∠MCD=180°,
          ∵∠BAC=90°,
          ∴∠MAD=∠MAC+∠CAD=∠MAC+∠BAM=90°,
          ∴∠MCD=90°,
          在Rt△NCD中,CN=3,CD=1,
          根據(jù)勾股定理得,ND= ,
          ∵∠MAD=90°,∠MAN=45°,
          ∴∠DAN=45°,
          ∵AM=AD,AN=AN,
          ∴△MAN≌△DAN,
          ∴MN=DN= ,
          所以答案是
          【考點精析】認真審題,首先需要了解全等三角形的性質(zhì)(全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等).

          練習冊系列答案
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          C.
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          (1)該工作日7:00~12:00共有人闖紅燈?
          (2)①補全條形統(tǒng)計圖, ②計算扇形統(tǒng)計圖中10~11點所對應的圓心角的度數(shù).
          (3)該工作日7:00~12:00,各時間段闖紅燈的人數(shù)的方差是
          (4)請你根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息向交通管理部門提出一條合理化建議.

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          C.三條高線的交點
          D.三條中線的交點

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          A.1
          B.2
          C.3
          D.4

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          (1)當t≠2時,求證:△EMF≌△GNH;
          (2)順次連接E、H、F、G,設四邊形EHFG的面積為S,求出S與自變量t之間的函數(shù)關(guān)系式,并求S的最小值.

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