Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=120°，E是AB的中點(diǎn)，過(guò)E點(diǎn)作射線EF∥BC，交CD于點(diǎn)G，AB、AD的長(zhǎng)恰好是方程x²-4x+a²+2a+5=0的兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、E出發(fā)，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線AB由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿EF由E向F運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t．
（1）求線段AB、AD的長(zhǎng)；
（2）如果t＞1，DP與EF相交于點(diǎn)N，求△DPQ的面積S與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)t＞0時(shí)，是否存在△DPQ是直角三角形的情況？如果存在請(qǐng)求出時(shí)間t；如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)兩根相等可得出判別式等于零，從而可得出AB和AD的長(zhǎng)度．
（2）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥DA，交DA的延長(zhǎng)線于M，過(guò)點(diǎn)D作DK⊥EF，求出表示△DPQ的面積S需要的線段長(zhǎng)度，然后利用三角形的面積表達(dá)式可得出兩者的關(guān)系．
（3）直角三角形，因?yàn)椴淮_定哪個(gè)角是直角，所以需要分類討論，注意不要漏解．
解答：解：（1）根據(jù)題意可知，△=4²-4（a²+2a+5）=-4（a+1）²=0，
∴a=-1，
原方程可化為：x²-4x+4=0，
∴x₁=x₂=2，
∴AD=AB=2．

（2）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥DA，交DA的延長(zhǎng)線于M，過(guò)點(diǎn)D作DK⊥EF，
∵∠A=120°，AD∥BC且AD=AB=2，
∴∠B=60°，，
∵E是AB中點(diǎn)，且EF∥BC，
∴，
∵AP=t，
∴，
∵t＞1 AE=1，
∴P在E的下方，
∴，
∵E是AB中點(diǎn)，AD∥EF，AB=2，
∴，
∴，
∴，
∴S_△DPQ=，
=，

（3）根據(jù)題意可知：，
∴，
∴DP²=（DM）²+（PM）²，

DP²=t²+2t+4，
根據(jù)勾股定理可得：

，
，
PQ²=7t²-4t+1，
①當(dāng)∠PDQ=90°，PQ²=DQ²+PD²
7t²-4t+1=4t²-10t+7+t²+2t+4，
解之得：（舍負(fù)），
②當(dāng)∠DPQ=90°，DQ²=PQ²+PD²
4t²-10t+7=7t²-4t+1+t²+2t+4，
解之得：（舍負(fù)），
③當(dāng)∠DQP=90°，PD²=DQ²+PQ²，
t²+2t+4=7t²-4t+1+4t²-10t+7，
解之得：，
綜上，當(dāng)，，時(shí)△DPQ是直角三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了梯形及一元二次方程的結(jié)合，綜合性較強(qiáng)，難度較大，解答本題的關(guān)鍵是將題目分解，一步一步的得出解答此題需要的條件，切忌手忙腳亂無(wú)從下手．