Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象與反比例函數(shù)y＝﹣在第二象限內(nèi)的圖象相交于點(diǎn)A，與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B，與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C．

（1）求∠BCO的度數(shù)；

（2）若y軸上一點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是4，且AM＝BM，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)Q是平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)A、M、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）∠BCO＝45°；（2）A(﹣4，1)；（3）點(diǎn)Q坐標(biāo)為(﹣4，﹣4)或(﹣4，6)或(﹣4，)或(4，1)．

【解析】

（1）證明△OBC是等腰直角三角形即可解決問題；

（2）如圖1中，作MN⊥AB于N．根據(jù)一次函數(shù)求出交點(diǎn)N的坐標(biāo)，用b表示點(diǎn)A坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可解決問題；

（3）分兩種情形：①當(dāng)菱形以AM為邊時(shí)，②當(dāng)AM為菱形的對(duì)角線時(shí)，分別求解即可．

（1）∵一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象交x軸于B，交y軸于C，則B(b，0)，C（0，b），

∴OB＝OC＝﹣b，

∵∠BOC＝90°

∴△OBC是等腰直角三角形，

∴∠BCO＝45°．

（2）如圖1中，作MN⊥AB于N，

∵M（0，4），MN⊥AC，直線AC的解析式為：y＝﹣x+b，

∴直線MN的解析式為：y＝x+4，

聯(lián)立，解得：，

∴N(，)，

∵MA＝MB，MN⊥AB，

∴NA＝BN，設(shè)A(m，n)，

則有，解得：，

∴A(﹣4，b+4)，

∵點(diǎn)A在y＝﹣上，

∴﹣4（b+4）＝﹣4，

∴b＝﹣3，

∴A（﹣4，1）；

（3）如圖2中，

由（2）可知A(﹣4，1)，M(0，4)，

∴AM＝＝5，

當(dāng)菱形以AM為邊時(shí)，AQ＝AQ′＝5，AQ∥OM，可得Q(﹣4，﹣4)，Q′(﹣4，6)，

當(dāng)A，Q關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)，也滿足條件，此時(shí)Q(4，1)，

當(dāng)AM為菱形的對(duì)角線時(shí)，設(shè)P″(0，b)，

則有（4﹣b）2＝42+（b﹣1）2，

∴b＝﹣．

∴AQ″＝MP″＝，

∴Q″(﹣4，)，

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)Q坐標(biāo)為(﹣4，﹣4)或(﹣4，6)或(﹣4，)或(4，1)．