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        1. (2013•河南)如圖1,將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°.
          (1)操作發(fā)現(xiàn)
          如圖2,固定△ABC,使△DEC繞點C旋轉,當點D恰好落在AB邊上時,填空:
          ①線段DE與AC的位置關系是
          DE∥AC
          DE∥AC
          ;
          ②設△BDC的面積為S1,△AEC的面積為S2,則S1與S2的數(shù)量關系是
          S1=S2
          S1=S2


          (2)猜想論證
          當△DEC繞點C旋轉到如圖3所示的位置時,小明猜想(1)中S1與S2的數(shù)量關系仍然成立,并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC、CE邊上的高,請你證明小明的猜想.
          (3)拓展探究
          已知∠ABC=60°,點D是角平分線上一點,BD=CD=4,DE∥AB交BC于點E(如圖4).若在射線BA上存在點F,使S△DCF=S△BDE,請直接寫出相應的BF的長.
          分析:(1)①根據(jù)旋轉的性質可得AC=CD,然后求出△ACD是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質可得∠ACD=60°,然后根據(jù)內錯角相等,兩直線平行解答;
          ②根據(jù)等邊三角形的性質可得AC=AD,再根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC=
          1
          2
          AB,然后求出AC=BE,再根據(jù)等邊三角形的性質求出點C到AB的距離等于點D到AC的距離,然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等解答;
          (2)根據(jù)旋轉的性質可得BC=CE,AC=CD,再求出∠ACN=∠DCM,然后利用“角角邊”證明△ACN和△DCM全等,根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AN=DM,然后利用等底等高的三角形的面積相等證明;
          (3)過點D作DF1∥BE,求出四邊形BEDF1是菱形,根據(jù)菱形的對邊相等可得BE=DF1,然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可知點F1為所求的點,過點D作DF2⊥BD,求出∠F1DF2=60°,從而得到△DF1F2是等邊三角形,然后求出DF1=DF2,再求出∠CDF1=∠CDF2,利用“邊角邊”證明△CDF1和△CDF2全等,根據(jù)全等三角形的面積相等可得點F2也是所求的點,然后在等腰△BDE中求出BE的長,即可得解.
          解答:解:(1)①∵△DEC繞點C旋轉點D恰好落在AB邊上,
          ∴AC=CD,
          ∵∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°,
          ∴△ACD是等邊三角形,
          ∴∠ACD=60°,
          又∵∠CDE=∠BAC=60°,
          ∴∠ACD=∠CDE,
          ∴DE∥AC;

          ②∵∠B=30°,∠C=90°,
          ∴CD=AC=
          1
          2
          AB,
          ∴BD=AD=AC,
          根據(jù)等邊三角形的性質,△ACD的邊AC、AD上的高相等,
          ∴△BDC的面積和△AEC的面積相等(等底等高的三角形的面積相等),
          即S1=S2
          故答案為:DE∥AC;S1=S2;

          (2)如圖,∵△DEC是由△ABC繞點C旋轉得到,
          ∴BC=CE,AC=CD,
          ∵∠ACN+∠BCN=90°,∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°,
          ∴∠ACN=∠DCM,
          ∵在△ACN和△DCM中,
          ∠ACN=∠DCM
          ∠CMD=∠N=90°
          AC=CD

          ∴△ACN≌△DCM(AAS),
          ∴AN=DM,
          ∴△BDC的面積和△AEC的面積相等(等底等高的三角形的面積相等),
          即S1=S2;

          (3)如圖,過點D作DF1∥BE,易求四邊形BEDF1是菱形,
          所以BE=DF1,且BE、DF1上的高相等,
          此時S△DCF=S△BDE,
          過點D作DF2⊥BD,
          ∵∠ABC=60°,
          ∴∠F1DF2=∠ABC=60°,
          ∴△DF1F2是等邊三角形,
          ∴DF1=DF2,
          ∵BD=CD,∠ABC=60°,點D是角平分線上一點,
          ∴∠DBC=∠DCB=
          1
          2
          ×60°=30°,
          ∴∠CDF1=180°-30°=150°,
          ∠CDF2=360°-150°-60°=150°,
          ∴∠CDF1=∠CDF2,
          ∵在△CDF1和△CDF2中,
          DF1=DF2
          ∠CDF1=∠CDF2
          CD=CD
          ,
          ∴△CDF1≌△CDF2(SAS),
          ∴點F2也是所求的點,
          ∵∠ABC=60°,點D是角平分線上一點,DE∥AB,
          ∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=
          1
          2
          ×60°=30°,
          又∵BD=4,
          ∴BE=
          1
          2
          ×4÷cos30°=2÷
          3
          2
          =
          4
          3
          3
          ,
          ∴BF1=
          4
          3
          3
          ,BF2=BF1+F1F2=
          4
          3
          3
          +
          4
          3
          3
          =
          8
          3
          3
          ,
          故BF的長為
          4
          3
          3
          8
          3
          3
          點評:本題考查了全等三角形的判定與性質,三角形的面積,等邊三角形的判定與性質,直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質,熟練掌握等底等高的三角形的面積相等,以及全等三角形的面積相等是解題的關鍵,(3)要注意符合條件的點F有兩個.
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          3
          2
          或3
          3
          2
          或3

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          (1)連接EF,當EF經(jīng)過AC邊的中點D時,求證:△ADE≌△CDF;
          (2)填空:
          ①當t為
          6
          6
          s時,四邊形ACFE是菱形;
          ②當t為
          1.5
          1.5
          s時,以A、F、C、E為頂點的四邊形是直角梯形.

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          kx
          (x>0)的圖象經(jīng)過BC的中點D,且與AB交于點E,連接DE.
          (1)求k的值及點E的坐標;
          (2)若點F是OC邊上一點,且△FBC∽△DEB,求直線FB的解析式.

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