Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a（x﹣2）2﹣4與y軸交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，﹣2），點(diǎn)C在拋物線上（不與點(diǎn)A，B重合），過點(diǎn)C作y軸的垂線交拋物線于點(diǎn)D，連結(jié)AC，AD，CD，設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m．

（1）求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．

（2）用含m的代數(shù)式表示線段CD的長．

（3）點(diǎn)E是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，且點(diǎn)E的縱坐標(biāo)比點(diǎn)C的縱坐標(biāo)小1，連結(jié)BD，DE，設(shè)△ACD的面積為S1，△BDE的面積為S2，且S1S2≠0，求S2=S1時(shí)m的值．

（4）將拋物線y=a（x﹣2）2﹣4沿x=2平移，得到拋物線y=a（x﹣2）2+k，過點(diǎn)C作y軸平行線與拋物線y=a（x﹣2）2+k交于點(diǎn)F，若CD與y軸交于點(diǎn)G，且CD=6，直接寫出使AC=FG的點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣2；（2）當(dāng)m＜2，且m≠0時(shí)，CD=4﹣2m；當(dāng)m＞2時(shí)，CD=2m﹣4；（3）m=2±或m=；（4）點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）或（﹣1，3）或（5，﹣2）或（5，3）

【解析】試題分析：（1）把A（0，-2）代入拋物線切線a=即可；

（2）拋物線的對稱軸為直線x=2，且點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m，得出當(dāng)m<2，且m≠0時(shí)，CD=4-2m，當(dāng)m>2時(shí)，CD=2m-4；

（3）求出BE=m2-2m+1或BE=-m2+2m-1，由三角形面積關(guān)系得出方程，解方程即可；

（4）由題意得出則四邊形AGCF是矩形，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，分情況討論，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系即可得出答案．

試題解析：（1）∵拋物線y=a（x﹣2）2﹣4與y軸交于點(diǎn)A（0，﹣2），

∴﹣2=4a﹣4，

解得：a=，

∴這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=（x﹣2）2﹣4，

即y=x2﹣2x﹣2；

（2）∵拋物線y=（x﹣2）2﹣4的對稱軸為直線x=2，且點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m，

∴當(dāng)m＜2，且m≠0時(shí)，CD=4﹣2m；

當(dāng)m＞2時(shí)，CD=2m﹣4；

（3）∵B（2，﹣4），E（2， m2﹣2m﹣3），

∴BE=m2﹣2m+1或BE=﹣m2+2m﹣1，

∴S1=CD（m2﹣2m）或S1=CD（﹣m2+2m），S2=CD（m2﹣2m+1）或S2=CD（﹣m2+2m﹣1），

∵S2=S1，

∴4（m2﹣2m）=3（m2﹣2m+1），或4（m2﹣2m）=﹣3（m2﹣2m+1），

解得：m=2±或=；

（4）若AC=FG，連接AF，則四邊形AGCF是矩形，

∵CD=6，拋物線的對稱軸為x=2，

∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為﹣1或5；

①當(dāng)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為﹣1時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)=×（﹣1）2﹣2×（﹣1）﹣2=，

當(dāng)拋物線向下平移時(shí)，如圖所示，

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，﹣2），

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）；

當(dāng)拋物線向上平移時(shí)，同理得出點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣1，3）；

②當(dāng)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為5時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為，

當(dāng)拋物線向下平移時(shí)，同理的點(diǎn)F的坐標(biāo)為（5，﹣2）；

當(dāng)拋物線向上平移時(shí)，同理得出點(diǎn)F的坐標(biāo)為（5，3）；

綜上所述：點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）或（﹣1，3）或（5，﹣2）或（5，3）．