Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，O是對角線AC與BD的交點(diǎn)，M是BC邊上的動點(diǎn)點(diǎn)M不與B，C重合，，CN與AB交于點(diǎn)N，連接OM，ON，下列五個(gè)結(jié)論：≌；≌；∽；；若，則的最小值是，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是　　

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據(jù)正方形的性質(zhì),可判定△CNB≌△DMC, △OCM≌△OBN, △CON≌△DOM, △OMN∽△OAD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及勾股定理可進(jìn)行求解.

因?yàn)檎�方�?/span>ABCD中,CD=BC, ∠BCD=90°,

所以∠BCN+∠DCN=90°,

因?yàn)?/span>CN⊥DM,

所以∠CDM+∠DCN=90°,

所以∠BCN=∠CDM,

又因?yàn)?/span>∠CBN=∠DCM=90°,

所以△CNB≌△DMC,故①正確,

根據(jù)△CNB≌△DMC,可得CM=BN,

又因?yàn)?/span>∠OCM=∠OBN=45°,OC=OB,

所以△OCM≌△OBN,

所以OM=ON, ∠COM=∠BON,

所以∠DOC+∠COM=∠COB+∠BPN,即∠DOM=∠CON,

又因?yàn)?/span>DO=CO,

所以△OCN≌△DOM,故②正確,

因?yàn)?/span>∠BON+∠BOM=∠COM+∠BOM=90°,

所以∠MON=90°,即△MON是等腰直角三角形,

又因?yàn)?/span>△AOD是等腰直角三角形,

所以△OMN∽△OAD,故③正確,

因?yàn)?/span>AB=BC,CM=BN,

所以BM=AN,

又因?yàn)?/span>Rt△BMN中,BM2+BN2=MN2,

所以AN2+CM2=MN2,故④正確,

△OCM≌△OBN,

所以四邊形BMON的面積=△BOC的面積=1,即四邊形BMON的面積是定值1,

當(dāng)△MNB的面積最大時(shí), △MNO的面積最小,

設(shè)BN=x=CM,則BM=2-x,

所以△MNB的面積=,

當(dāng)x=1時(shí), △MNB的面積有最大值

此時(shí)△OMN的面積最小值是,故⑤正確,

故選D.