Question

如圖，CD切⊙O于點(diǎn)D，連結(jié)OC，交⊙O于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作弦AB⊥OD，點(diǎn)E為垂足，已知⊙O的半徑為15，sin∠COD=

3

2

．
求：（1）弦AB的長(zhǎng)；
（2）CD的長(zhǎng)；
（3）線段DE、線段BE與弧DB圍成的面積．

Answer 1

分析：（1）sin∠COD=

3

2

，可得∠COD=60°，由弦AB⊥OD，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)與垂徑定理，即可求得弦AB的長(zhǎng)；
（2）由CD切⊙O于點(diǎn)D，可得OD⊥CD，繼而求得CD的長(zhǎng)；
（3）由S=S_扇形BOD-S_△BOE，即可求得答案．

解答：解：（1）∵sin∠COD=

3

2

，
∴∠COD=60°，
∵弦AB⊥OD，⊙O的半徑為15，
∴AE=BE=OB•sin60°=15×

3

2

=

15

2

3

，
∴AB=AE+BE=15

3

；

（2）∵CD切⊙O于點(diǎn)D，
∴OD⊥CD，
在Rt△OCD中，OD=15，∠COD=60°，
∴CD=OD•tan60°=15×

3

=15

3

；

（3）在Rt△OBE中，OE=OB•cos60°=15×

1

2

=

15

2

，
S=S_扇形BOD-S_△BOE=

60

360

×π×15²-

1

2

×

15

2

×

15

2

3

=25π-

225

8

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理、扇形的面積以及三角函數(shù)的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．