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        1. (2009•棗莊)如圖,拋物線的頂點為A(2,1),且經過原點O,與x軸的另一個交點為B.
          (1)求拋物線的解析式;
          (2)在拋物線上求點M,使△MOB的面積是△AOB面積的3倍;
          (3)連接OA,AB,在x軸下方的拋物線上是否存在點N,使△OBN與△OAB相似?若存在,求出N點的坐標;若不存在,說明理由.

          【答案】分析:(1)已知頂點坐標,設拋物線解析式的頂點式y(tǒng)=a(x-2)2+1,把O(0,0)代入即可;
          (2)∵△MOB與△AOB公共底邊OB,最高點A的縱坐標為1,只需要點M的縱坐標為-3即可,將y=-3,代入解析式可求M點坐標;
          (3)由已知△OAB為等腰三角形,點N在拋物線上,只可能OB=BN,即要求∠AOB=∠BON,A、A'要關于x軸對稱,通過計算,不存在.
          解答:解:(1)由題意,可設拋物線的解析式為y=a(x-2)2+1,
          ∵拋物線過原點,
          ∴a(0-2)2+1=0,a=-
          ∴拋物線的解析式為y=-(x-2)2+1=-x2+x.

          (2)△AOB和所求△MOB同底不等高,且S△MOB=3S△AOB,
          ∴△MOB的高是△AOB高的3倍,即M點的縱坐標是-3.
          ∴-3=-x2+x,即x2-4x-12=0.
          解之,得x1=6,x2=-2.
          ∴滿足條件的點有兩個:M1(6,-3),M2(-2,-3)

          (3)不存在.
          由拋物線的對稱性,知AO=AB,∠AOB=∠ABO.
          若△OBN與△OAB相似,必有∠BON=∠BOA=∠BNO,
          即OB平分∠AON,
          設ON交拋物線的對稱軸于A'點,則A、A′關于x軸對稱,
          ∴A'(2,-1).
          ∴直線ON的解析式為y=-x.
          由-x=-x2+x,得x1=0,x2=6.
          ∴N(6,-3).
          過N作NE⊥x軸,垂足為E.在Rt△BEN中,BE=2,NE=3,
          ∴NB==
          又∵OB=4,
          ∴NB≠OB,∠BON≠∠BNO,△OBN與△OAB不相似.
          同理,在對稱軸左邊的拋物線上也不存在符合條件的N點.
          所以在該拋物線上不存在點N,使△OBN與△OAB相似.
          點評:本題考查了拋物線解析式的求法,坐標系里的面積問題,探求相似三角形的存在性問題,具有一定的綜合性.
          練習冊系列答案
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          A.y=-2x-3
          B.y=-2x-6
          C.y=-2x+3
          D.y=-2x+6

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