Question

【題目】（1）模型建立：

如圖，等腰直角三角形中，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)作于，過(guò)作于.求證：；

（2）模型應(yīng)用：

①如圖，一次函數(shù)的圖象分別與軸、軸交于點(diǎn)、，以線段為腰在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為___________（直接寫(xiě)出結(jié)果）

②如圖，在和中，，，，連接、，作于點(diǎn)，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，求證：是的中點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①或，②見(jiàn)解析

【解析】

（1）利用同角的余角相等判斷出∠CAD=∠BCE，然后利用AAS證明全等，即可得出結(jié)論；

（2）①先求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，得到BO=4，AO=2，由為等腰直角三角形，可分為兩種情況：AB=AC或AB=BC，分別求出點(diǎn)C坐標(biāo)即可；

②作交的延長(zhǎng)線于，作于，先由AAS證明≌，得到，同理可證，則，然后證明≌，即可得到結(jié)論.

解：（1），，

，，

，

，

，

在和中

，

；

（2）①∵一次函數(shù)的圖象分別與軸、軸交于點(diǎn)、，

令，則；令，則；

∴點(diǎn)A為（2，0），點(diǎn)B為（0，4），

∴BO=4，AO=2；

∵為等腰直角三角形，

當(dāng)AB=AC時(shí)，有∠BAC=90°，如圖：

與（1）同理，得△ABO≌△CAD，

∴AD=BO=4，CD=AO=2，

∴OD=AO+AD=2+4=6，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：；

當(dāng)AB=BC時(shí)，有∠ABC=90°，如圖：

與（1）同理，得△ABO≌△BCE，

∴CE=BO=4，BE=AO=2，

∴OE=2+4=6，

∴點(diǎn)C坐標(biāo)為：；

故答案為：或.

②如圖，作交的延長(zhǎng)線于，作于，

，

，

；

在與中，，

，

，

同理，，

，

在與中，，

，

，

是的中點(diǎn).