Question

【題目】如圖，AC是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，點P是⊙O外一點，連接PA，PB，AB，已知∠PBA=∠C．

（1）求證：PB是⊙O的切線；

（2）連接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半徑為，求BC的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）2.

【解析】

試題分析：（1）連接OB,由AC是⊙O的直徑可得∠ABC=90°，∠C+∠BAC=90°.再由OA=OB可得∠BAC=∠OBA. 又因∠PBA=∠C，所以∠PBA+∠OBA=90°，即PB⊥OB.即可判定PB是⊙O的切線．（2）可證△ABC∽△PBO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求BC的長．

試題解析： （1）證明：如圖所示，連接OB.

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ABC=90°，∠C+∠BAC=90°.

∵OA=OB，

∴∠BAC=∠OBA.

∵∠PBA=∠C，

∴∠PBA+∠OBA=90°，即PB⊥OB.

∴PB是⊙O的切線．

（2）解：⊙O的半徑為，∴OB=，AC=．

∵OP∥BC，

∴∠BOP=∠OBC=∠C.

又∵∠ABC=∠PBO=90°，

∴△ABC∽△PBO，

∴，即.

∴BC=2．