Question

【題目】已知∠MON＝60°，射線OT是∠MON的平分線，點(diǎn)P是射線OT上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線PB交射線ON于點(diǎn)B．

（1）如圖，若射線PB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后與射線OM交于點(diǎn)A，求證：PA＝PB；

（2）在（1）的條件下，若點(diǎn)C是AB與OP的交點(diǎn)，且滿足，求△POB與△PBC的面積之比；

（3）當(dāng)OB＝2時(shí)，射線PB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后與直線OM交于點(diǎn)A（點(diǎn)A不與點(diǎn)O重合），直線PA交射線ON于點(diǎn)D，且滿足∠PBD＝∠ABO，求OP的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）△POB與△PBC的面積之比為4：3；（3）OP＝或.

【解析】

(1) 作PF⊥OM于F，作PG⊥ON于G，可以把求證PA=PB的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明△PAF≌△PBG即可;

(2)首先證明△POB∽△PBC，利用相似三角形的面積的比等于相似比的平方即可求解;

(3)分點(diǎn)A在射線OM上,點(diǎn)A在射線OM的反向延長(zhǎng)線上兩種情況進(jìn)行討論,作OT的垂線,利用三角函數(shù)即可求解.

（1）證明：作PF⊥OM于F，作PG⊥ON于G，

∵OP平分∠MON，

∴PF=PG，

∵∠MON=60°，

∴∠FPG=360°-60°-90°-90°=120°，

又∵∠APB=120°，

∴∠APF=∠BPG，

∴△PAF≌△PBG，

∴PA=PB；

（2）由（1）得：PA=PB，∠APB=120°，

∴∠PAB=∠PBA=30°，

∵∠MON=60°，OP平分∠MON，

∴∠TON=30°，

∴∠POB=∠PBC，

又∠BPO=∠OPB，

∴△POB∽△PBC，

∴

∴△POB與△PBC的面積之比為4：3；

（3）①當(dāng)點(diǎn)A在射線OM上時(shí)（如圖乙1），

∠BPD=∠BOA=60°，

∵∠PBD=∠ABO，而∠PBA=30°，

∴∠OBA=∠PBD=75°，

作BE⊥OT于E，

∵∠NOT=30°，OB=2，

∴BE=1，OE=，∠OBE=60°，

∴∠EBP=∠EPB=45°，

∴PE=BE=1，∴OP=OE+PE=

②當(dāng)點(diǎn)A在射線OM的反向延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖乙2），

此時(shí)∠AOB=∠DPB=120°，

∵∠PBD=∠ABO，而∠PBA=30°，

∴∠OBA=∠PBD=15°，

作BE⊥OT于E，

∵∠NOT=30°，OB=2，

∴BE=1，OE=，∠OBE=60°，

∴∠EBP=∠EPB=45°，

∴PE=BE=1，∴OP=

∴綜上所述，OP＝或.