Question

小明和幾位同學(xué)做手的影子游戲時(shí)，發(fā)現(xiàn)對(duì)于同一物體，影子的大小與光源到物體的距離有關(guān)．因此，他們認(rèn)為：可以借助物體的影子長(zhǎng)度計(jì)算光源到物體的位置．于是，他們做了以下嘗試．

（1）如圖1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，邊長(zhǎng)AB為30cm，在其正上方有一燈泡，在燈泡的照射下，正方形框架的橫向影子A′B，D′C的長(zhǎng)度和為6cm．那么燈泡離地面的高度為

 

．
（2）不改變圖1中燈泡的高度，將兩個(gè)邊長(zhǎng)為30cm的正方形框架按圖2擺放，請(qǐng)計(jì)算此時(shí)橫向影子A′B，D′C的長(zhǎng)度和為多少？
（3）有n個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形按圖3擺放，測(cè)得橫向影子A′B，D′C的長(zhǎng)度和為b，求燈泡離地面的距離．（寫(xiě)出解題過(guò)程，結(jié)果用含a，b，n的代數(shù)式表示）

Answer 1

分析：（1）設(shè)燈泡的位置為點(diǎn)P，易得△PAD∽△PA′D′，設(shè)出所求的未知數(shù)，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比等于對(duì)應(yīng)高的比，可得燈泡離地面的高度；
（2）同法可得到橫向影子A′B，D′C的長(zhǎng)度和；
（3）按照相應(yīng)的三角形相似，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比等于對(duì)應(yīng)高的比，用字母表示出其他線段，即可得到燈泡離地面的距離．

解答：解：（1）設(shè)燈泡離地面的高度為xcm，
∵AD∥A′D′，
∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′．
∴△PAD∽△PA′D′．
根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比的性質(zhì)，可得

AD

A′D′

=

PN

PM

，
∴

30

36

=

x-30

x

，
解得x=180．（4分）

（2）設(shè)橫向影子A′B，D′C的長(zhǎng)度和為ycm，
同理可得∴

60

60+y

=

150

180

，
解得y=12cm；（3分）

（3）記燈泡為點(diǎn)P，如圖：
∵AD∥A′D′，∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠PD′A′．
∴△PAD∽△PA′D′．
根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比的性質(zhì)，可得

AD

A′D′

=

PN

PM

（1分）
（直接得出三角形相似或比例線段均不扣分）
設(shè)燈泡離地面距離為x，由題意，得PM=x，PN=x-a，AD=na，A′D′=na+b，
∴

na

na+b

=

x-a

x

=1-

a

x

a

x

=1-

na

na+b

x=

na2+ab

b

（1分）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，注意運(yùn)用相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比這個(gè)性質(zhì)．