Question

【題目】如圖所示，已知正△ABC中射線CM⊥AB于F，射線BA繞B順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的射線記作a，同時線段AB所在直線繞A順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的直線記作直線l，當直線l旋轉(zhuǎn)的角度是射線a旋轉(zhuǎn)角度的4倍時，直線l于射線CM相交于E，與射線a相交于D，且∠D=30°．

（1）求射線a的旋轉(zhuǎn)角是多少度；

（2）求證：DE=AB；

（3）探索：線段DE，EF，DB的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）10°；（2）證明見解析；（3）DB=EF+DE．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角的和，直線a，l的旋轉(zhuǎn)角的關(guān)系建立方程4α=30°+α即可；

（2）由∠BCE=∠D=30°，判斷出點B，C，D，E四點共圓，再判斷出∠EBD=∠BDC，即可；

（3）判斷出△BDE≌△ECA，再代換即可．

試題解析：（1）設(shè)直線l旋轉(zhuǎn)角為α，

∴∠ABD=α

∵射線l旋轉(zhuǎn)的角度是射線a旋轉(zhuǎn)角度的4倍，

∴∠BAE=4α，

∵∠BAE=∠ABD+∠D，

∴4α=α+30°，

∴α=10°，

射線a的旋轉(zhuǎn)角是10°；

（2）連接BE，

在正△ABC中，CF⊥AB，

∴∠BCE=30°，

∵∠D=30°，

∴∠BCE=∠D=30°，

∴點B，C，D，E四點共圓（線段同側(cè)的兩點對線段的張角相等，則這兩點以及線段的兩個端點共圓）

∵CE⊥AB，AF=BF，

∴EA=EB，

∴∠EBA=∠BAE=40°，

∴∠EBD=50°，∠EBC=100°，

∴∠EDC=80°，

∴∠BDC=50°

∴∠EBD=∠BDC，

∴DE=BC，

∵BC=AB，

∴DE=AB，

（3）∵∠BAE=40°，

∴∠AEC=50°，

∵∠ABE=40°，∠ABD=10°，

∴∠EBD=∠AEC=50°

∵∠BDE=∠ACE=30°，DE=AC，

∴△BDE≌△ECA，

∴BD=EC=EF+FC=EF+AB=EF+DE．