Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥BC交拋物線于點(diǎn)Q，P、Q兩點(diǎn)之間的距離為m．

（1）求直線BC的解析式；

（2）取線段BC的中點(diǎn)M，連接PM．當(dāng)m最小時(shí)，判斷以點(diǎn)P、O、M、B為頂點(diǎn)的四邊形是什么特殊的平行四邊形，并說(shuō)明理由；

（3）設(shè)N為y軸上一點(diǎn)，在（2）的基礎(chǔ)上，當(dāng)∠OBN＝2∠OBP時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）以點(diǎn)P，O，M，B為頂點(diǎn)的四邊形是菱形；（3）點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0， ）或（0，－ ）．

【解析】試題分析：

（1）由拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C可求得A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，再由B、C的坐標(biāo)即可求得直線BC的解析式為： ；

（2）由PQ∥BC可設(shè)直線PQ的解析式為，由m最小時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合，可知此時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，由此可求得n的值，進(jìn)而可解得此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)M、O、B的坐標(biāo)即可判斷四邊形BMOP是菱形；

（3）由四邊形BMOP是菱形可知∠MBO ＝∠OBP，此時(shí)，若點(diǎn)N在x軸上方，則由∠OBN＝2∠OBP，可得∠OBC＝∠CBN，如下圖，作CE⊥BN于點(diǎn)E，證△NCE∽△NBO，結(jié)合其它已知條件即可求得ON的長(zhǎng)，從而得到點(diǎn)N的坐標(biāo)；利用對(duì)稱性即可得到點(diǎn)N在x軸下方時(shí)的坐標(biāo).

試題解析：

（1）在中令y＝0，則，

解得：x1＝1，x2＝4；令x=0，則y=2；

∴A（1，0） ，B（4，0），C（0，2）；

設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋b，則，解得： ，

∴直線BC的解析式．

（2）以點(diǎn)P，O，M，B為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，理由如下：

∵m取最小值時(shí)P，Q兩點(diǎn)重合，

∴此時(shí)直線PQ與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，

由PQ∥BC可設(shè)直線PQ的解析式為，

由，得，

∵PQ和拋物線此時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)，

∴△＝，解得n＝0，

∴此時(shí)直線PQ的解析式為，方程為，解得： ，

∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（2，－1）．

∵點(diǎn)M為Rt△BOC的斜邊BC的中點(diǎn)，

∴OM＝BM，M的坐標(biāo)為：（2，1），

∴點(diǎn)P和點(diǎn)M關(guān)于x軸對(duì)稱，

∴PM被x軸垂直平分，

∴OM＝OP，BM＝BP，

∴OM＝OP＝BM＝BP，

∴四邊形POMB為菱形．

（3）∵四邊形POMB為菱形，∴OB平分∠MBP．∴∠MBO ＝∠OBP．

當(dāng)點(diǎn)N在x軸上方時(shí)，如下圖，

∵∠OBN＝2∠OBP，

∴∠OBC＝∠CBN．

作CE⊥BN，垂足為E．∵∠COB＝90，

∴CE＝CO＝2，易得BO＝BE＝4，△NCE∽△NBO，

∴．即，

∴NC＝，

∴NO＝，

∴當(dāng)點(diǎn)N在x軸上方時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0， ）．

根據(jù)對(duì)稱性可得，當(dāng)點(diǎn)N在x軸下方時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，－ ）．

綜上所述：點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0， ）或（0，－ ）．