Question

已知反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象過(guò)點(diǎn)（-32，-

1

2

）．
（1）求此反比例函數(shù)的解析式；
（2）如圖，點(diǎn)A（m，1）是反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，求m的值；
（3）利用（2）的結(jié)果，請(qǐng)問(wèn)：在x軸上是否存在點(diǎn)P，使以A、O、P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)（-32，-

1

2

）代入反比例函數(shù)解析式，可得出k的值，繼而得出函數(shù)解析式；
（2）將點(diǎn)A（m，1）代入（1）所求的解析式可得出m的值；
（3）分情況討論，①∠APO=90°，②∠OAP'=90°，分別得出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）將點(diǎn)（-32，-

1

2

）代入y=

k

x

可得：-

1

2

=

k

-32

，
解得：k=16，
故此反比例函數(shù)解析式為y=

16

x

；

（2）將點(diǎn)A（m，1）代入y=

16

x

，可得：1=

16

m

，
解得：m=16；

（3）存在點(diǎn)P的坐標(biāo)．

①當(dāng)∠APO=90°時(shí)，OP=16，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（16，0）；
②當(dāng)∠OAP'=90°時(shí)，△OAP∽△OP'A，
則

OA

OP′

=

OP

OA

，即

257

OP′

=

16

257

，
解得：OP'=

257

16

，
此時(shí)點(diǎn)P'的坐標(biāo)為（

257

16

，0）．
綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（16，0）或（

257

16

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題屬于反比例函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)及直角三角形的知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，解答本題要求我們熟練各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，并將各知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通．