Question

親愛的同學(xué)，你準(zhǔn)備好了嗎？讓我們一起進(jìn)行一次研究性學(xué)習(xí)：研究用一條直線等分幾何圖形的面積．我們很容易發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)事實(shí)：
如圖①，對于三角形ABC，取BC邊的中點(diǎn)D，過A，D兩點(diǎn)畫一條直線，即可把△ABC分為面積相等的兩部分．

（1）如圖②，對于平行四邊形ABCD，如何畫一條直線把平行四邊形ABCD分為面積相等的兩部分．
答：______（寫出一種方案即可）．理由是：______．
（2）受上面的啟發(fā)，請你研究以下兩個(gè)問題：
①如圖③，一塊平行四邊形的稻田里有一個(gè)圓形的蓄水池，現(xiàn)要從蓄水池引一條筆直的水渠，并使蓄水池兩側(cè)的稻田面積相等，請你畫出你的設(shè)計(jì)方案，保留作圖痕跡，不必說明理由．
②某農(nóng)業(yè)研究所有一塊梯形形狀的實(shí)驗(yàn)田如圖3④，準(zhǔn)備把這塊實(shí)驗(yàn)田種上面積相同的西紅柿和青椒（都是新品種），應(yīng)該如何分割，請你分別在圖3④、圖3⑤中設(shè)計(jì)兩種不同的分割方案，并說明理由．

Answer 1

解：（1）連接兩對角線AC、BD交于點(diǎn)O，過O點(diǎn)任作一直線MN即可（如圖）．
（不妨設(shè)該直線與AD、BC分別交于點(diǎn)M、N）
理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠MAO=∠NCO，
又∵∠AOM=∠CON，
∴△AOM≌△CON．
∴S_△AMO=S_△CNO．
同理得S_△MOD=S_△NOB．
又易得S_△AOB=S_△COD，
所以S_{四邊形MNCD}=S_{四邊形ABNM}．

（2）①如圖，
②
方案一：分別取AD、BC的中點(diǎn)E、F，連接EF，線段EF就是所求作的分割線．
理由：∵AE=ED，BF=FC，
∴S_{四邊形ABEF}=（AE+BF）•h，
=（ED+FC）•h，
=S_{四邊形EFCD}，

方案二：連接AC，取中點(diǎn)O，連接BO、OD，折線BOD可以把梯形分割為兩個(gè)面積相等的圖形．
理由：∵AO=OC，∴S_△AOB=S_△BOC，S_△DOC=S_△ADO，
∴S_△AOB+S_△AOD=S_△BOC+S_△DOC．

分析：（1）利用平行四邊形的性質(zhì)得出即可得出連接兩對角線AC、BD交于點(diǎn)O，過O點(diǎn)任作一直線MN即可，再利用△AOM≌△CON得出即可；
（2）①找到水池圓心以及平行四邊形對角線交點(diǎn)即可得出答案；
②分別取AD、BC的中點(diǎn)E、F，連接EF，線段EF就是所求作的分割線或連接AC，取中點(diǎn)O，連接BO、OD，折線BOD可以把梯形分割為兩個(gè)面積相等的圖形．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖中分割圖形面積，利用三角形中線能平分三角形面積得出是解題關(guān)鍵．