Question

在△ABC中，∠ABC＝45°，tan∠ACB＝．如圖，把△ABC的一邊BC放置在x軸上，有OB＝14，OC＝，AC與y軸交于點(diǎn)E．

(1)求AC所在直線的函數(shù)解析式；
(2)過(guò)點(diǎn)O作OG⊥AC，垂足為G，求△OEG的面積；
(3)已知點(diǎn)F(10，0)，在△ABC的邊上取兩點(diǎn)P，Q，是否存在以O(shè)，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△OFP全等，且這兩個(gè)三角形在OP的異側(cè)？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：(1) 在Rt△OCE中，OE＝OCtan∠OCE＝，∴點(diǎn)E(0，。
設(shè)直線AC的函數(shù)解析式為y＝kx＋，有，解得：k＝。
∴直線AC的函數(shù)解析式為y＝。
(2) 在Rt△OGE中，tan∠EOG＝tan∠OCE＝，
設(shè)EG＝3t，OG＝5t，，∴，得t＝2。
∴EG＝6，OG＝10�！�/
(3) 存在。
①當(dāng)點(diǎn)Q在AC上時(shí)，點(diǎn)Q即為點(diǎn)G，

如圖1，作∠FOQ的角平分線交CE于點(diǎn)P₁，
由△OP₁F≌△OP₁Q，則有P₁F⊥x軸，
由于點(diǎn)P₁在直線AC上，當(dāng)x＝10時(shí)，
y＝
∴點(diǎn)P₁(10，)。
②當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時(shí)，如圖2，

有OQ＝OF，作∠FOQ的角平分線交CE于點(diǎn)P₂，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥OB于點(diǎn)H，設(shè)OH＝a，
則BH＝QH＝14－a，
在Rt△OQH中，a²＋(14－a)²＝100，
解得：a₁＝6，a₂＝8，∴Q(－6，8)或Q(－8，6)。
連接QF交OP₂于點(diǎn)M．
當(dāng)Q(－6，8)時(shí)，則點(diǎn)M(2，4)；當(dāng)Q(－8，6)時(shí)，則點(diǎn)M(1，3)。
設(shè)直線OP₂的解析式為y＝kx，則2k＝4，k＝2�！鄖＝2x。
解方程組，得。
∴P₂()；
當(dāng)Q(－8，6)時(shí)，則點(diǎn)M(1，3)．同理可求P₂′()。
綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為
(10，)或()或()。

(1)根據(jù)三角函數(shù)求E點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法求解。
(2)在Rt△OGE中，運(yùn)用三角函數(shù)和勾股定理求EG，OG的長(zhǎng)度，再計(jì)算面積。
(3)分兩種情況討論求解：①點(diǎn)Q在AC上；②點(diǎn)Q在AB上．求直線OP與直線AC的交點(diǎn)坐標(biāo)即可。