Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，如圖，已知Rt△DOE，∠DOE=90°，OD=3，點D在y軸上，點E在x軸上，在△ABC中，點A，C在x軸上，AC=5．∠ACB+∠ODE=180°，∠ABC=∠OED，BC=DE．按下列要求畫圖（保留作圖痕跡）：

（1）將△ODE繞O點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△OMN（其中點D的對應點為點M，點E的對應點為點N），畫出△OMN；
（2）將△ABC沿x軸向右平移得到△A′B′C′（其中點A，B，C的對應點分別為點A′，B′，C′），使得B′C′與（1）中的△OMN的邊NM重合；
（3）求OE的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：△OMN如圖所示；

（2）

解：△A′B′C′如圖所示；

（3）

解：設OE=x，則ON=x，作MF⊥A′B′于點F，

由作圖可知：B′C′平分∠A′B′O，且C′O⊥O B′，

所以，B′F=B′O=OE=x，F(xiàn) C′=O C′=OD=3，

∵A′C′=AC=5，

∴A′F= =4，

∴A′B′=x+4，A′O=5+3=8，

在Rt△A′B′O中，x2+82=（4+x）2，

解得x=6，

即OE=6．

【解析】（1）以點O為圓心，以OE為半徑畫弧，與y軸正半軸相交于點N，以OD為半徑畫弧，與x軸負半軸相交于點M，連接MN即可；（2）以M為圓心，以AC長為半徑畫弧與x軸負半軸相交于點A′，B′與N重合，C′與M重合，然后順次連接即可；（3）設OE=x，則ON=x，作MF⊥A′B′于點F，判斷出B′C′平分∠A′B′O，再根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等和角平分線的對稱性可得B′F=B′O=OE=x，F(xiàn) C′=O C′=OD=3，利用勾股定理列式求出A′F，然后表示出A′B′、A′O，在Rt△A′B′O中，利用勾股定理列出方程求解即可．
【考點精析】掌握角平分線的性質(zhì)定理和勾股定理的概念是解答本題的根本，需要知道定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．