Question

（2003•天津）已知關(guān)于x的方程x²-（q+p+1）x+p=0（q≥0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為α、β，且α≤β．
（1）試用含有α、β的代數(shù)式表示p、q；
（2）求證：α≤1≤β；
（3）若以α、β為坐標(biāo)的點(diǎn)M（α、β）在△ABC的三條邊上運(yùn)動(dòng)，且△ABC頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，2），B（，1），C（1，1），問(wèn)是否存在點(diǎn)M，使p+q=？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)樵�方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故判別式△=（p+q+1）²-4p=（p+q-1）²+4q≥0，且α+β=p+q+1，αβ=p，于是p=αβ，q=α+β-p-1=α+β-αβ-1；
（2）因?yàn)棣痢堞�，故只需求�?-a）（1-β）≤0即可；
（3）先根據(jù)條件確定動(dòng)點(diǎn)所在的邊，再確定點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵α、β為方程x²-（p+q+1）x+p=0（q≥0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴判別式△=（p+q+1）²-4p=（p+q-1）²+4q≥0，
且α+β=p+q+1，αβ=p，
于是p=αβ，
q=α+β-p-1=α+β-αβ-1；
（2）∵（1-a）（1-β）=1-（α+β）+αβ=-q≤0（q≥0），
又α≤β，
∴a≤1≤β；
（3）若使p+q=成立，只需α+β=p+q+1=，
①當(dāng)點(diǎn)M（α，β）在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
由B（，1），C（1，1），
得≤α≤1，β=1，
而α=-β=-1=＞1，
故在BC邊上存在滿足條件的點(diǎn)，其坐標(biāo)為（，1）所以不符合題意舍去；
即在BC邊上不存在滿足條件的點(diǎn)
②當(dāng)點(diǎn)M（α，β）在AC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
由A（1，2），C（1，1），
得a=1，1≤β≤2，
此時(shí)β=-α=-1=，
又因?yàn)?＜＜2，
故在AC邊上存在滿足條件的點(diǎn)，其坐標(biāo)為（1，）；
③當(dāng)點(diǎn)M（α，β）在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
由A（1，2），B（，1），
得≤α≤1，1≤β≤2，
由平面幾何知識(shí)得，
于是β=2α，
由解得α=，β=，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021232350583007618/SYS201310212323505830076003_DA/19.png">＜＜1，1＜＜2，
故在AB邊上存在滿足條件的點(diǎn)，其坐標(biāo)為（，）．
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M（α，β）在△ABC的三條邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在點(diǎn)（1，）和點(diǎn)（，），使p+q=成立．
點(diǎn)評(píng)：此題較復(fù)雜，將根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題相結(jié)合，體現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)．由于情況較多，需要分類討論．