Question

如圖，直線y=-

3

4

x+6與x軸、y軸分別相交于A、C兩點(diǎn)；分別過(guò)A、C兩點(diǎn)作x軸、y軸的垂線相交于B點(diǎn)，P為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿著CB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AC交AB于B，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，用含t的代數(shù)式表示△PBE的面積S；
（3）在（2）的條件下點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，將△PBE沿著PE折疊（如圖所示），點(diǎn)B在平面內(nèi)的落點(diǎn)為點(diǎn)D．當(dāng)△PDE與△ABC重疊部分的面積等于

3

2

時(shí)，試求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）結(jié)合圖形，根據(jù)直線y=-

3

4

x+6與x軸、y軸分別相交于A、C兩點(diǎn)很容易求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）容易得出四邊形OABC是矩形，根據(jù)性質(zhì)得出BP的表達(dá)式，因?yàn)椤鰾PE∽△BCA，求出BE表達(dá)式，進(jìn)而求出△PBE的面積S．
（3）先求出D點(diǎn)在AC上的特殊位置時(shí)t的值，然后分兩種情況求解．

解答：解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=6
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，6）；

（2）y=-

3

4

x+6與x軸相交于點(diǎn)A（8，0）
∵∠AOC=90°，BA⊥OA，BC⊥OC
∴四邊形OABC是矩形
∴BC=OA=8，AB=OC=6
∴BP=8-CP=8-t
∵PE∥AC
∴△BPE∽△BCA
∴

BP

BC

=

BE

AB

∴BE=

3

4

(8-t)
∴S△PBE=

1

2

BP•BE=

3

8

(t-8)2=

3

8

t2-6t+24；

（3）設(shè)PD、DE與AC分別相交于點(diǎn)N、M，得，DP=BP=8-t，DE=BE=

3

4

(8-t)
∵PE∥AC
∴∠CNP=∠DPE，∠BPE=∠BCA
又∵∠BPE=∠DPE
∴∠CNP=∠PCN
∴PN=CP
∴當(dāng)點(diǎn)P為CB的中點(diǎn)時(shí)，t=PN=CP=4，點(diǎn)D恰好落在CA上
①當(dāng)0＜t≤4時(shí)，PN=CP=tDN=DP-t=8-2t
∵M(jìn)N∥PE
∴

DN

DP

=

DM

DE

∴DM=

3

2

(4-t)
∴S_陰影=S_△BPE-S_△DMN=(

3

8

t2-6t+24)-

3

2

(4-t)2=

3

2

解得t1=

8-2 13

3

，t2=

8+2 13

3

＞4（舍去）
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

8-2 13

3

，6）
②當(dāng)4＜t＜8時(shí)，S_陰影=S_△BPE=

3

8

t2-6t+24=

3

2

解得t₃=6，t₄=10＞8（舍去）
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，6）
即：當(dāng)重疊部分的面積等于

3

2

時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

8-2 13

3

，6）或（6，6）

點(diǎn)評(píng)：在圖形中滲透運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)是中考中經(jīng)常出現(xiàn)的問(wèn)題，注意理解其具體的意義，畫出圖形會(huì)比較清楚；很多題應(yīng)該注意情況不止一種以及根的取舍問(wèn)題，比如說(shuō)不在定義域內(nèi)等，聯(lián)系實(shí)際借助圖形的幫助更深的理解．