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        1. 【題目】如圖,已知直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于A,B兩點,拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A,B兩點,點P在線段OA上,從點A以1個單位/秒的速度勻速運動;同時,點Q在線段AB上,從點A出發(fā),向點B以 個單位/秒的速度勻速運動,連接PQ,設(shè)運動時間為t秒.

          (1)求拋物線的解析式;
          (2)當t為何值時,△APQ為直角三角形;
          (3)過點P作PE∥y軸,交AB于點E,過點Q作QF∥y軸,交拋物線于點F,連接EF,當EF∥PQ時,求點F的坐標.

          【答案】
          (1)

          解:∵y=﹣x+3與x軸交于點A,與y軸交于點B,

          ∴當y=0時,x=3,即A點坐標為(3,0),當x=0時,y=3,即B點坐標為(0,3).

          ∵將A(3,0),B(0,3)代入得: ,解得

          ∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3.


          (2)

          解:∵OA=OB=3,∠BOA=90°,

          ∴∠QAP=45°.

          如圖①所示:∠PQA=90°時.

          設(shè)運動時間為t秒,則QA= t,PA=3﹣t.

          在Rt△PQA中, ,即

          解得:t=1.

          如圖②所示:∠QPA=90°時.

          設(shè)運動時間為t秒,則QA= t,PA=3﹣t.

          在Rt△PQA中, = ,即

          解得:t=

          綜上所述,當t=1或t= 時,△PQA是直角三角形.


          (3)

          解:如圖③所示:

          設(shè)點P的坐標為(t,0),則點E的坐標為(t,﹣t+3),則EP=3﹣t.點Q的坐標為(3﹣t,t),點F的坐標為(3﹣t,﹣(3﹣t)2+2(3﹣t)+3),即F(3﹣t,4t﹣t2),則FQ=4t﹣t2﹣t=3t﹣t2

          ∵EP∥FQ,EF∥PQ,

          ∴四邊形EFQP為平行四邊形.

          ∴EP=FQ,即3﹣t=3t﹣t2

          解得:t1=1,t2=3(舍去).

          將t=1代入得點F的坐標為(2,3).


          【解析】(1)先求得直線AB與x軸、y軸的交點坐標,然后將點A、點B的坐標代入拋物線的解析式得到關(guān)于b、c的方程組求得b、c的值從而可得到拋物線的解析式;(2)由點A、B的坐標可知OB=OA,從而可求得∠BAO=45°,然后分為∠PQA=90°和∠QPA=90°兩種情況求解即可;(3)由題意可知:EP∥FQ,EF∥PQ,故此四邊形EFQP為平行四邊形,從而得到PE=FQ,然后設(shè)點P的坐標為(t,0)則可表示出點Q、E、F的坐標,從而可求得PE、FQ的長,最后根據(jù)PE=FQ列方程求解即可.

          練習冊系列答案
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          ∴∠3=∠4(

          ∴________∥_______ (

          ∴∠C=∠ABD

          ∵∠C=∠D

          ∴∠D=∠ABD

          DFAC

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          (1)求拋物線的解析式;
          (2)判斷直線l與⊙E的位置關(guān)系,并說明理由;
          (3)動點P在拋物線上,當點P到直線l的距離最小時,求出點P的坐標及最小距離.

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