Question

（1）已知：如圖1，在正方形ABCD中，點E、F分別在BC和CD上，AE=AF．
①求證：BE=DF；
②連接AC交EF于點O，延長AC至點M，使OM=OA，連接EM、FM．判斷四邊形AEMF是什么特殊四邊形？并證明你的結論．
（2）如圖2，在邊長為1的小正方形組成的網格中，△ABC的三個頂點均在格點上，請按要求完成下列各題：
①畫線段AD∥BC且使AD=BC，連接CD；
②線段AC的長為

2

5

，CD的長為

5

，AD的長為

5

；
③△ACD為

直角

三角形，四邊形ABCD的面積為

10

；
④若E為BC中點，求tan∠CAE的值．

Answer 1

分析：（1）①求簡單的線段相等，可證線段所在的三角形全等，即證△ABE≌△ADF；
②由于四邊形ABCD是正方形，易得∠ECO=∠FCO=45°，BC=CD；聯立（1）的結論，可證得EC=CF，根據等腰三角形三線合一的性質可證得OC（即AM）垂直平分EF；已知OA=OM，則EF、AM互相垂直平分，根據對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，即可判定四邊形AEMF是菱形．
（2）①利用平行線的性質得出AD的位置；
②利用圖表中格線的長度利用勾股定理求出即可；
③利用勾股定理的逆定理得出△ACD的形狀，再利用四邊形的特殊性直接得出答案；
④利用E點的位置得出tan∠CAE=tan∠CAN的值．

解答：（1）①證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
∵

AD=AB AF=AE

，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）
∴BE=DF；

②解：四邊形AEMF是菱形，理由為：
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCA=∠DCA=45°（正方形的對角線平分一組對角），BC=DC（正方形四條邊相等），
∵BE=DF（已證），
∴BC-BE=DC-DF（等式的性質），即CE=CF，
在△COE和△COF中，

CE=CF ∠ACB=∠ACD OC=OC

，
∴△COE≌△COF（SAS），
∴OE=OF，又OM=OA，
∴四邊形AEMF是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形），
∵AE=AF，
∴平行四邊形AEMF是菱形．

（2）①如圖所示；
②線段AC的長為：AC=

42+22

=2

5

，CD的長為：

12+22

=

5

，AD的長為：

32+42

=5；
故答案為：2

5

，

5

，5；

③∵AC=2

5

，CD=

5

，AD=5；
∴AC²+CD²=AD²，
∴△ACD為直角三角形，
∴四邊形ABCD的面積為：2S_△ACD=2

5

×

5

=10；
故答案為：直角，10；

④∵E為BC中點，
∴AE延長線交MC中點于點N，
∴tan∠CAE=tan∠CAN=

2

4

=

1

2

．

點評：此題主要考查的是正方形的性質、全等三角形的判定和性質及菱形的判定以及勾股定理及逆定理和銳角三角函數關系等知識，熟練利用全等三角形的判定與性質是解題關鍵．