Question

（2009•沈陽模擬）如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F(xiàn)是AD延長線上一點，且DF=BE．
（1）求證：CE=CF；
（2）在圖1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，探索GE、BE、GD之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
（3）運用（1）、（2）解答中所積累的經(jīng)驗和知識，完成下題：
如圖2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=10，E是AB上一點，且∠DCE=45°，BE=3，求DE的長．

Answer 1

分析：（1）由條件直接證明三角形全等就可以得出CE=CF．
（2）由條件和（1）的結(jié)論可以證明三角形ECG全等三角形FCG，可以得出EG=FG，可以得出GE=BE+GD．
（3）過點C作CD⊥AD交AG的延長線于點D，延長AG使DH=BE，從而運用（2）的結(jié)論可以表示出DG，由勾股定理就可以求出DE的值．

解答：解：（1）證明：在正方形ABCD中，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=∠BCD=∠ADC．
∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，
∴△CBE≌△CDF（SAS），
∴CE=CF．

（2）GE=BE+GD
∵△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF．
∵∠GCE=45°，
∴∠BCE+∠GCD=45°
∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，
∴∠GCF=∠GCE，
∴△GCE≌△GCF，
∴GE=GF，
∵GF=GD+DF，
∴GE=GD+DF，
∴GE=GD+BE．

（3））過點C作CD⊥AD交AG的延長線于點D，延長AG使DH=BE，連結(jié)CH．
在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，∠A=∠B=90°，∠ADC=90°，AB=BC，
∴四邊形ABCD是正方形．
∵∠DCE=45°，由（2）的結(jié)論，得
GE=DG+BE，設(shè)DE=x，則DG=x-3，
∴AD=13-x．
在Rt△AED中
DE²=AD²+AE²，
x²=（13-x）²+7²，
解得：x=

109

13

∴DE=

109

13

．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的運用及直角梯形的性質(zhì)，學(xué)生熟練掌握這些性質(zhì)定理是正確解答的基礎(chǔ)．