Question

（2013•郴州模擬）如圖，已知AB=10，C是線段AB上一動點，分別以AC、BC為斜邊作直角△ACD、直角△BCE，且∠A=60°，∠B=30°，連接DE，M是DE的中點．
（1）當C運動到AB的中點時，△ACD、△BCE和△DCE有什么關(guān)系？
（2）當C運動到什么位置時，△ACD、△BCE和△DCE相似？
（3）當C運動到什么位置時，△DCE有最大面積，最大面積是多少？
（4）當C在AB上運動時，M點怎樣運動，運動的距離是多少？

Answer 1

分析：根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠ACD和∠BCE，然后求出∠DCE=90°，（1）根據(jù)中點定義可得AC=BC，然后求出AD=CE，CD=BE，再利用“邊角邊”即可證明三個三角形全等；
（2）設(shè)AC=x，表示出CD、BC和CE，然后根據(jù)兩邊對應成比例，夾角相等，兩三角形相似分情況列式求解即可；
（3）根據(jù)直角三角形的面積公式列式整理，然后利用二次函數(shù)的最值問題解答；
（4）延長AD、BE相交于點F，求出∠AFB=90°并得到四邊形CDFE是矩形，連接CF，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得點M是CF的中點，從而得到點M的運動軌跡是△ABF的中位線，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得點M的運動距離=

1

2

AB．

解答：解：∵△ACD、△BCE都是直角三角形，∠A=60°，∠B=30°，
∴∠ACD=90°-∠A=90°-60°=30°，
∠BCE=90°-∠B=90°-30°=60°，
∴∠DCE=180°-30°-60°=90°，
（1）點C運動到AB的中點時，AC=BC=

1

2

AB=

1

2

×10=5，
∴AD=CE=

1

2

AC=

1

2

×5=2.5，CD=BE=

3

2

AC=

5 3

2

，
又∵∠ADC=∠DCE=∠BEC=90°，
∴△ACD≌△BCE≌△DCE；

（2）設(shè)AC=x，則CD=

3

2

x，
BC=AB-AC=10-x，
CE=

1

2

BC=

1

2

（10-x），
∵△ACD、△BCE和△DCE相似，
∴

CD

CE

=

AD

CD

或

CD

CE

=

CD

AD

，
即

3 2 x

1 2 (10-x)

=

3

3

或

3 2 x

1 2 (10-x)

=

3

，
解得x=2.5或x=5；

（3）△DCE的面積=

1

2

CD•CE，
=

1

2

•

3

2

x•

1

2

（10-x），
=-

3

8

（x-5）²+

25 3

8

，
∴當x=5，即點C運動到AC=5時，△DCE有最大面積，最大面積是

25 3

8

；

（4）延長AD、BE相交于點F，
∵∠A=60°，∠B=30°，
∴∠AFB=180°-60°-30°=90°，
∴四邊形CDFE是矩形，
連接CF，∵點M是DE的中點，
∴點M也是CF的中點，
∴點M的運動軌跡是△ABF的中位線，
點M運動的距離=

1

2

AB=

1

2

×10=5．

點評：本題是相似形綜合題，主要利用了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，全等三角形的判定，相似三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題，三角形的中位線定理，（4）判斷出點M的運動軌跡是三角形的中位線是解題的關(guān)鍵．