【題目】如圖,在矩形中,點(diǎn)
是邊
上一點(diǎn)(不與點(diǎn)
重合),點(diǎn)
是
延長線上一點(diǎn),且
,連接
.
(1)求證:
(2)連接,其中
①當(dāng)四邊形是菱形時,求線段
與線段
之間的距離;
②若點(diǎn)是
的內(nèi)心,連接
,直接寫出
的取值范圍.
【答案】(1)見解析;(2)①線段與線段
之間的距離為
,②
.
【解析】
(1)根據(jù)已知,利用SAS即可證明;
(2)①因為四邊形是菱形,所以AE與DF的距離等于AD與EF之間的距離,即CD為所求,再利用勾股定理即可求解;
②如圖作出輔助線,根據(jù)△ABE△DCF(SAS),
的取值范圍即可轉(zhuǎn)化為在△ABE中進(jìn)行求解,找到E點(diǎn)在B、C兩點(diǎn)臨界處的∠AED的取值范圍,利用三角形內(nèi)角和=180
,即可求得.
(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,
∴AB=DC, ∠B=∠BCD=90,
∴∠B=∠DCF=90,
∵BE=CF,
∴△ABE△DCF(SAS).
(2)解:①∵四邊形AEFD是菱形,
∴ AE與DF的距離等于AD與EF之間的距離,即CD的長,
∵AC=,BC=AD=6,在△ADC中,
∴,
∴線段AE與線段DF之間的距離為.
②∵△ABE△DCF,
∴△DCF的內(nèi)心即為△ABE的內(nèi)心,
如圖:作出∠AEB、∠ABE的角平分線BQ、EQ,
則∠BQE=∠CIF, ∠BQE即為所求,
∵∠ABE恒等于90,
∴∠ABE恒等于45
,
∵當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B處時,∠AEB=90,
當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)C處時,在Rt△ABE 中,AB=AC,知∠AEB=30
,
∴所以30∠AEB
,
∴15∠AEB
,
∴ ∠ABE+
∠AEB
,
即∠ABE+
∠AEB
,
而∠BQE=180-
∠ABE+
∠AEB,
∴∠BQE
,
即∠BQE
.
即∠CIF
.
故 90∠CIF
.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)(
是常數(shù),
)的圖象與
軸交于點(diǎn)
和點(diǎn)
(點(diǎn)
在點(diǎn)
的右側(cè)),與
軸交于點(diǎn)
,連接
.
(1)用含的代數(shù)式表示點(diǎn)
和點(diǎn)
的坐標(biāo);
(2)垂直于軸的直線
在點(diǎn)
與點(diǎn)
之間平行移動,且與拋物線和直線
分別交于點(diǎn)
,設(shè)點(diǎn)
的橫坐標(biāo)為
,線段
的長為
.
①當(dāng)時,求
的值;
②若,則當(dāng)
為何值時,
取得最大值,并求出這個最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明和爸爸周末步行去游泳館游泳,爸爸先出發(fā)了一段時間后小明才出發(fā),途中小明在離家米處的報亭休息了一段時間后繼續(xù)按原來的速度前往游泳館.爸爸、小明離家的距離
(單位:米),
單位:米)與小明所走時間
(單位:分鐘)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示,請結(jié)合圖象信息解答下列問題:
分別求出爸爸離家的距離
和小明到達(dá)報亭前離家的距離
與時間
之間的函數(shù)關(guān)系式;
求小明在報亭休息了多長時間遇到姍姍來遲的爸爸?
若游泳館離小明家
米,請你通過計算說明誰先到達(dá)游泳館?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在我們學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)教科書中,有一個數(shù)學(xué)活動,其具體操作過程是:
第一步:對折矩形紙片,使
與
重合,得到折痕
,把紙片展開(如圖①);
第二步:再一次折疊紙片,使點(diǎn)落在
上,并使折痕經(jīng)過點(diǎn)
,得到折痕
,同時得到線段
(如圖②).
如圖②所示建立平面直角坐標(biāo)系,請解答以下問題:
(Ⅰ)設(shè)直線的解析式為
,求
的值;
(Ⅱ)若的延長線與矩形
的邊
交于點(diǎn)
,設(shè)矩形的邊
,
;
(i)若,
,求
點(diǎn)的坐標(biāo);
(ii)請直接寫出、
應(yīng)該滿足的條件.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以△ABC的邊AC為直徑的半圓交AB邊于D點(diǎn),∠A、∠B、∠C所對邊長為a、b、c,且二次函數(shù)y=(a+c)x2-bx+
(c-a)頂點(diǎn)在x軸上,a是方程z2+z-20=0的根.
(1)證明:∠ACB=90°;
(2)若設(shè)b=2x,弓形面積S弓形AED=S1,陰影面積為S2,求(S2-S1)與x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)BD為何值時,(S2-S1)最大?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD為矩形,以A為圓心,AD為半徑的弧交AB的延長線于點(diǎn)E,連接BD,若AD=2AB=4,則圖中陰影部分的面積為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線分別與
軸、
軸交于點(diǎn)
,拋物線
經(jīng)過點(diǎn)
,與
軸的另一個交點(diǎn)為
,拋物線的對稱軸
交
于點(diǎn)
.
(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式及對稱軸;
(2)若為
軸上一動點(diǎn),
為
的中點(diǎn),過點(diǎn)
作
的中垂線,交拋物線于點(diǎn)
,其中
在
的左邊.
①如圖1,若時,求
的長.
②當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時,請直接寫出點(diǎn)
的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,中,對角線
與
相交于點(diǎn)
點(diǎn)
為
的中點(diǎn),連接
的延長線交
的延長線于點(diǎn)
連接
.
(1)求證:;
(2)若判斷四邊形
的形狀,并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)D,E是⊙O上一點(diǎn),且∠AED=45°.
(1)試判斷CD與⊙O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)若⊙O的半徑為3,sin∠ADE=,求AE的值.
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