Question

如圖1，O為圓柱形木塊底面的圓心，過底面的一條弦AD，沿母線AB剖開，得剖面矩形ABCD，AD=12cm，AB=15cm．測量出AD所對的圓心角為120°，如圖2所示．
（1）求⊙O的半徑；
（2）求剖割前圓柱形木塊的表面積（結(jié)果可保留π和根號）．

Answer 1

解：（1）連接OA、OD，過O點作OE⊥AD，垂足為E，如圖2所示，
∵OE⊥AD，∠AOD=120°，AD=12cm，
∴AE=DE=AD=6cm，∠AOE=∠AOB=60°，
在Rt△AOE中，sin∠AOE=，
∴OA===4cm，
則圓O的半徑為4cm；

（2）∵圓O的半徑r=4cm，圓柱的高AB=h=15cm，
∴圓柱形木塊的表面積
S=2S_底+S_側(cè)
=2πr²+2πrh
=2×π×（4）²+2×π×4×15
=（120+96）πcm²．
分析：（1）連接OA、OD，過O點作OE⊥AD，垂足為E，如圖2所示，由OE垂直于AD，利用垂徑定理得到E為AD的中點，由AD的長求出AE的長，同時由OA=OD，OE垂直于AD，利用三線合一得到OE為∠AOD的平分線，由∠AOD的度數(shù)求出∠AOE的度數(shù)，在直角三角形AOE中，由AE的長，利用銳角三角函數(shù)定義及特殊角的三角函數(shù)值求出OA的長，即為圓O的半徑；
（2）由求出的半徑r及高h，根據(jù)圓的面積公式S=πr²，及側(cè)面積公式S=2πrh，利用圓柱體的表面積=2個底面圓面積+側(cè)面積，即可求出圓柱體的表面積．
點評：此題考查了垂徑定理的應(yīng)用，涉及的知識有：銳角三角函數(shù)定義，垂徑定理，特殊角的三角函數(shù)值，圓柱的側(cè)面積公式，以及圓的面積公式，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．