Question

（1997•福州）已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象過點(diǎn)C（0，

5

3

），與x軸交于兩點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0）（x₂＜x₁），且x₁+x₂=4，x₁x₂=-5．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求二次函數(shù)的解析式和頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若一次函數(shù)y=kx+m的圖象過二次函數(shù)的頂點(diǎn)P，把△PAB分成兩個(gè)部分，其中一個(gè)部分的面積不大于△PAB面積的

1

3

，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出方程Z²-4Z-5=0的兩根，進(jìn)而根據(jù)x₂＜x₁，求出A，B坐標(biāo)即可；
（2）根據(jù)y=ax²+bx+c過A、B、C三點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求出解析式即可；
（3）根據(jù)A，B坐標(biāo)，利用△PAB底邊3等分點(diǎn)得出相關(guān)直線解析式進(jìn)而得出m的取值范圍．

解答：解：（1）∵

x1+x2=4 x1•x2=-5

，
∴x₁，x₂是方程Z²-4Z-5=0的兩根
解得：Z₁=5，Z₂=-1
∵x₁＞x₂，∴x₁=5，x₂=-1
∴A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是A（5，0），B（-1，0）；

（2）∵y=ax²+bx+c過A、B、C三點(diǎn)
∴

25a+5b+c=0 a-b+c=0 c= 5 3

解得：

a=- 1 3 b= 4 3 c= 5 3

∴二次函數(shù)的解析式為：
y=-

1

3

x²+

4

3

x+

5

3

即y=-

1

3

（x-2）²+3，
∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）；

（3）據(jù)圖形特征知，當(dāng)一次函數(shù)圖象過P（2，3）且過（1，0）或（3，0）時(shí)，
就把△PAB分成兩部分，其中一部分三角形的面積為△PAB面積的

1

3

，
①設(shè)過（3，0），（2，3）的一次函數(shù)的解析式為：y=ax+b，
則

3a+b=0 2a+b=3

，
解得：

a=-3 b=9

故一次函數(shù)的解析式為：y=-3x+9，
同理可得出：過（5，0）（2，3）的一次函數(shù)的解析式為：y=-x+5．
又一次函數(shù)y=kx+m，當(dāng)x=0時(shí)，y=m，
∴此一次函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為m．
觀察圖形變化得：5＜m≤9，
②過（-1，0）（2，3）的一次函數(shù)的解析式為y=x+1，
過（1，0）（2，3）的一次函數(shù)的解析式為y=3x-3．
觀察圖形變化得-3≤m＜1．
∴m的取值范圍是：-3≤m＜1或5＜m≤9．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及三角形面積求法以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和根與系數(shù)關(guān)系等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合得出△PAB面積的

1

3

的分界點(diǎn)是解題關(guān)鍵．