Question

已知拋物線y＝ax²＋bx＋c（a＞0）的頂點(diǎn)是C（0，1），直線l：y＝－ax＋3與這條拋物線交于P、Q兩點(diǎn)，與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M和N。
（1）設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為2，試求直線l的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若線段MP與PN的長(zhǎng)度之比為3:1，試求拋物線的函數(shù)關(guān)系式。

Answer 1

解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)是C（0，1），∴b=0，c=1，
如圖1，

∵a>0，直線l過點(diǎn)N（0，3）
∴M點(diǎn)在x軸正半軸上
∵點(diǎn)P到x軸的距離為2，即點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2。
把y=2代入得，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（，2）      
∵直線與拋物線交于點(diǎn)P
∴點(diǎn)P在上，
∴a=1
∴直線l的函數(shù)關(guān)系式為       
（2）如圖2，若點(diǎn)P在y軸的右邊，記為P₁，過點(diǎn)P₁作P₁A⊥x軸于A，

，

，
，即
∵ON=3，，即點(diǎn)P₁的縱坐標(biāo)為
把代入，得
∴點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為（）       
又∵點(diǎn)P₁是直線l與拋物線的交點(diǎn)。∴點(diǎn)P₁在拋物線上，
  

∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為    
如圖2，若點(diǎn)P在y軸的左邊，記為P₂。作P₂B⊥x軸于B

。，
，
，即
∵ON=3，，即點(diǎn)P₂的縱坐標(biāo)為
由P₂在直線l上可求得    
又∵P₂在拋物線上，
∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為     

（1）由于拋物線的頂點(diǎn)為C（0，1），因此拋物線的解析式中b=0，c=1．即拋物線的解析式為y=ax²+1．已知了P到x軸的距離為2，即P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2．可根據(jù)直線l的解析式求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將P點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求得a的值，也就能求出直線l的函數(shù)關(guān)系式．
（2）本題要根據(jù)相似三角形來求．已知了線段MP與PN的長(zhǎng)度之比為3：1，如果過P作x軸的垂線，根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)的值．進(jìn)而可仿照（1）的方法，先代入直線的解析式，然后再代入拋物線中即可求出a的值，也就求出了拋物線的解析式