Question

在平面直角坐標(biāo)系中，直線（k為常數(shù)且k≠0）分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，⊙O半徑為個單位長度．
⑴如圖甲，若點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)B在y軸正半軸上，且OA=OB．
①求k的值；
②若b=4，點(diǎn)P為直線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的切線PC、PD，切點(diǎn)分別為C、D，當(dāng)PC⊥PD時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
⑵若，直線將圓周分成兩段弧長之比為1∶2，求b的值．（圖乙供選用）
     

Answer 1

（1）
①k＝－1
②P的坐標(biāo)為（1，3）或（3，1）
（2）b的值為或

⑴①根據(jù)題意得：B的坐標(biāo)為（0，b），∴OA=OB=b，
∴A的坐標(biāo)為（b，0），代入y＝kx＋b得k＝－1.
②過P作x軸的垂線，垂足為F，連結(jié)OD.
∵PC、PD是⊙O的兩條切線，∠CPD=90°，
∴∠OPD=∠OPC=∠CPD=45°，
∵∠PDO=90°，，∠POD=∠OPD＝45°，
∴OD＝PD＝，OP=.
∵P在直線y＝－x＋4上，
設(shè)P（m，－m＋4），則OF=m，PF=－m＋4，
∵∠PFO=90°， OF2＋PF2＝PO2，
∴ m2＋ (－m＋4)2＝（）2，
解得m=1或3，
∴P的坐標(biāo)為（1，3）或（3，1）

⑵分兩種情形，y＝－x＋，或y＝－x－。
直線將圓周分成兩段弧長之比為1∶2，可知其所對圓心角為120°，
如圖，畫出弦心距OC，可得弦心距OC=，
又∵直線中∴直線與x軸交角的正切值為，即，∴AC=，進(jìn)而可得AO=，即直線與與x軸交于點(diǎn)（，0）．
所以直線與y軸交于點(diǎn)（，0），所以b的值為．
當(dāng)直線與x軸、y軸的負(fù)半軸相交，同理可求得b的值為．
綜合以上得：b的值為或．