Question

【題目】如圖，矩形中，,,點(diǎn)為對(duì)角線(xiàn)上異于點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié),將沿所在的直線(xiàn)翻折，使得點(diǎn)落在點(diǎn)的位置

（1）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離。

（2）聯(lián)結(jié)交于,求當(dāng)和相似時(shí)，線(xiàn)段的長(zhǎng)。

（3）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)的面積。

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）或

【解析】

（1）根據(jù)直角三角形性質(zhì)求解即可

（2）根據(jù)題意，相似分為兩種情況 ，一是△EPF∽△BAD，二是△EFP∽△BAD，在兩種情況下分類(lèi)討論，分別求出不同情況下的值

（3）如圖一、圖二，首先弄清楚題目所存在的情況可能性，之后按照特殊的四邊形性質(zhì)以及三角形相關(guān)性質(zhì)求解即可

解 （1）過(guò)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，

在Rt△ABD中,AD=, AB=3,

∴∠ABD =30°，

∵∠APD=45°，

∴∠BAP=15°，

∴∠BAE = 30°

在Rt△EAG中，EA= EB=3

∴EG=

(2)①△EPF∽△BAD,

∴∠EPF = 90° ,

∵∠APB=∠APE,

∴180°-∠APD=90 °+∠APD，

∴∠APD=45°，在△APD中，∠ADP=60°，∠APD=45°，AD=，DP=

∵ BD=

∴BP=

②△EFP∽△BAD，

∴AE⊥BD，

∴∠BAF=60°，

∴∠PAD=30°，

∴AP= BP

在等腰△APB中，AB=3， ∠APB=30°，

∴BP=

綜上所述:當(dāng)△EPF和△ABD相似時(shí)，BP=或

（3）

如圖一：∠DPE=30°，

∵∠APB=∠APE，

∴180°-∠APD=30°+∠APD,

∴∠APD=75°

∴∠PAB=45°

在△APB中，過(guò)P做PI⊥AB

AB=3，∠PAB=45°，∠PBA=30°

∴PI=

∴△APB面積=

如圖二:過(guò)P做PH⊥AB于H，易得四邊形PEAB為菱形

∴△APB面積=

綜上所述，△APB面積為或