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        1. (2013•廣安)如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑作半圓⊙0,交BC于點(diǎn)D,連接AD,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC,垂足為點(diǎn)E,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
          (1)求證:EF是⊙0的切線.
          (2)如果⊙0的半徑為5,sin∠ADE=
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          ,求BF的長(zhǎng).
          分析:(1)連結(jié)OD,AB為⊙0的直徑得∠ADB=90°,由AB=AC,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得AD平分BC,即DB=DC,則OD為△ABC的中位線,所以O(shè)D∥AC,而DE⊥AC,則OD⊥DE,然后根據(jù)切線的判定方法即可得到結(jié)論;
          (2)由∠DAC=∠DAB,根據(jù)等角的余角相等得∠ADE=∠ABD,在Rt△ADB中,利用解直角三角形的方法可計(jì)算出AD=8,在Rt△ADE中可計(jì)算出AE=
          32
          5
          ,然后由OD∥AE,
          得△FDO∽△FEA,再利用相似比可計(jì)算出BF.
          解答:(1)證明:連結(jié)OD,如圖,
          ∵AB為⊙0的直徑,
          ∴∠ADB=90°,
          ∴AD⊥BC,
          ∵AB=AC,
          ∴AD平分BC,即DB=DC,
          ∵OA=OB,
          ∴OD為△ABC的中位線,
          ∴OD∥AC,
          ∵DE⊥AC,
          ∴OD⊥DE,
          ∴EF是⊙0的切線;

          (2)解:∵∠DAC=∠DAB,
          ∴∠ADE=∠ABD,
          在Rt△ADB中,sin∠ADE=sin∠ABD=
          AD
          AB
          =
          4
          5
          ,而AB=10,
          ∴AD=8,
          在Rt△ADE中,sin∠ADE=
          AE
          AD
          =
          4
          5
          ,
          ∴AE=
          32
          5

          ∵OD∥AE,
          ∴△FDO∽△FEA,
          OD
          AE
          =
          FO
          FA
          ,即
          5
          32
          5
          =
          BF+5
          BF+10
          ,
          ∴BF=
          90
          7
          點(diǎn)評(píng):本題考查了切線的判定定理:過(guò)半徑的外端點(diǎn)且與半徑垂直的直線為圓的切線.也考查了等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理和解直角三角形.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          (1)求此拋物線的解析式.
          (2)點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),(不與點(diǎn)A、B重合),過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線,垂足為F,交直線AB于點(diǎn)E,作PD⊥AB于點(diǎn)D.
          ①動(dòng)點(diǎn)P在什么位置時(shí),△PDE的周長(zhǎng)最大,求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo);
          ②連接PA,以AP為邊作圖示一側(cè)的正方形APMN,隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng),正方形的大小、位置也隨之改變.當(dāng)頂點(diǎn)M或N恰好落在拋物線對(duì)稱軸上時(shí),求出對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)的坐標(biāo).(結(jié)果保留根號(hào))

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