Question

（1）畫(huà)圖探究：
如圖1，若點(diǎn)A、B在直線(xiàn)m同側(cè)，在直線(xiàn)m上求作一點(diǎn)P，使AP+BP的值最小，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法；
（2）實(shí)踐運(yùn)用：
如圖2，在等邊△ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，點(diǎn)P是高AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求BP+PE的最小值
（3）拓展延伸：
如圖3，四邊形ABCD中，∠BAD=125°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，使△AMN周長(zhǎng)最小，并求此時(shí)∠MAN的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）作出A點(diǎn)關(guān)于m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′B即可得出P點(diǎn)位置；
（2）連接CE，交AD于點(diǎn)P，此時(shí)BP+PE最小，再利用等邊三角形的性質(zhì)得出即可；
（3）分別作出點(diǎn)A關(guān)于CD，BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF分別交CD、BC于點(diǎn)M、N此時(shí)△AMN周長(zhǎng)最小；再利用三角形內(nèi)角和定理得出即可．

解答：解：（1）如圖1所示：P點(diǎn)即為所求；

（2）如圖2，連接EC，交AD于點(diǎn)P，
此時(shí)BP+PE最小，
∵等邊△ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，
∴CE⊥AB，
∴BE=1，BC=2，
∴EC=

3

，
∴BP+PE的最小值為：

3

；

（3）如圖3：
分別作出點(diǎn)A關(guān)于CD，BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF分別交CD、BC于點(diǎn)M、N此時(shí)△AMN周長(zhǎng)最��；
∵∠BAD=125°，∴∠E+∠F=55°，∴∠DAM+∠EAB=∠E+∠F=55°，
∴∠MAN=125°-55°=70°．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了利用軸對(duì)稱(chēng)求最短路徑以及等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理以及三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，利用軸對(duì)稱(chēng)得出關(guān)鍵點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．