Question

如圖，已知等邊△ABC中，DE∥BC，F(xiàn)G∥BC，現(xiàn)將等邊△ABC分別沿DE和FG對折，點(diǎn)A分別落在點(diǎn)A₁和點(diǎn)A₂，連接A₂B，A₂C．
（1）求證：△AFG是正三角形；
（2）求證：A₂B=A₂C；
（3）設(shè)A₁D、A₁E交GF于M、N兩點(diǎn)，若DE=

7

3

cm，F(xiàn)G=3cm，求△A₁MN的周長．

Answer 1

分析：（1）由FG∥BC得出∠AFG=∠ABC=60°，∠AGF=∠ACB=60°，由等邊三角形的判定方法可以得出；
（2）由△A₂FG是等邊三角形，得出A₂F=A₂G，∠A₂FB=180°-∠AFG-∠A₂FG=60°，同樣，求出∠A₂GC=60°，所以∠A₂FB=∠A₂GC，F(xiàn)B=AB-AF=AC-AG=GC，根據(jù)SAS得出△A₂FB≌△A₂GC，從而A₂B=A₂C；
（3）首先推出△A₁MN是等邊三角形，那么求△A₁MN的周長，關(guān)鍵就是求其邊長，根據(jù)對稱性，可以得出．

解答：（1）證明：∵等邊△ABC，
∴∠A=∠ACB=∠ABC=60°，AB=AC．
∵FG∥BC，∠AFG=∠ABC=60°，
∴△AFG是正三角形．

（2）證明：由對折可知，△AFG≌△A₂FG，△ADE≌△A₁DE，
∴△A₂FG是正三角形．
∴A₂F=A₂G，∠A₂FB=∠A₂GC=60°．
又∵AF=AG，
∴BF=CG．
∴△A₂FB≌△A₂GC．
∴A₂B=A₂C．

（3）解：∵∠A₁MN=∠A₁NM=∠MA₁N=60°，
∴△A₁MN是等邊三角形．
又∵△DFM是等邊三角形，
∴MD=FD=3-

7

3

=

2

3

．
∴MA₁=A₁D-MD=

5

3

（cm）．
∴△A₁MN的周長為5cm．

點(diǎn)評：本題考查圖形的折疊變化及等邊三角形的性質(zhì)和判定．關(guān)鍵要理解對折是軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，對折前后圖形的形狀和大小不變，只是位置發(fā)生變化．