Question

【題目】如圖，直線y＝﹣x+2交坐標(biāo)軸于A、B兩點(diǎn)，直線AC⊥AB交x軸于點(diǎn)C，拋物線恰好過點(diǎn)A、B、C．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上方的曲線上移動時(shí)，求四邊形AOBM的面積的最大值；

（3）點(diǎn)E在拋物線的對稱軸上，點(diǎn)F在拋物線上，是否存在點(diǎn)F使得以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在求出點(diǎn)F坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)a＝2時(shí)，S四邊形AOBM的面積最大，為8；（3）存在．

【解析】

（1）由直線y＝﹣x+2易確定A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，又由AC⊥AB則易證明△ACO∽△BOC，利用相似比可確定C點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法直接求解即可．

（2）用待定系數(shù)法設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)和D點(diǎn)坐標(biāo)，已表示出MD的長度為﹣a2+4a，再利用割補(bǔ)法表示△AMB的面積，將得到的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)頂點(diǎn)式求解即可．

（3）利用平行四邊形的性質(zhì)分別作AC∥EF，AE∥CF兩種情況的圖形使E在拋物線對稱軸上，F在拋物線上，利用待定系數(shù)法及圖形的性質(zhì)求解即可．

解：（1）∵直線y＝﹣x+2交x軸于A、B兩點(diǎn)

∴A（0，2）、B（4，0）

由AC⊥AB得，△AOC∽△BOA．

∴．

∴OC＝1．

又∵C在x軸負(fù)半軸上

∴C（﹣1，0）．

設(shè)拋物線解析式y＝ax2+bx+c．

把A（0，2），B（4，0），C（﹣1，0）代入上式得，

，解得，

∴拋物線解析式為，y＝．

（2）如圖1，

過點(diǎn)M作MN⊥x軸，交直線AB與點(diǎn)D．

設(shè)M點(diǎn)橫坐標(biāo)為a，則M（a， ），D（a，）

∴MD＝﹣（）＝

∴S△ABM＝MDBO＝（﹣a2+2a）4＝﹣a2+4a

∴S四邊形AOBM＝﹣a2+4a+×2×4＝﹣（a﹣2）2+8

故當(dāng)a＝2時(shí)，S四邊形AOBM的面積最大，為8．

（3）存在．

如圖2﹣1，

當(dāng)AC∥EF，F在對稱軸左側(cè)時(shí)，可以看作把△AOC沿水平向右平移至OA與對稱軸重合時(shí)，再將其向上平移，恰好使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，點(diǎn)C與點(diǎn)F重合．

此時(shí)四邊形ACFE為平行四邊形．

∴FD＝OC＝1．

∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為，x＝．

當(dāng)x＝時(shí)，y＝﹣×（）2+×+2＝．

即此時(shí)F（，）．

如圖2﹣2，

當(dāng)AC∥EF，F在對稱軸右側(cè)時(shí)，把△EFG繞點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)180°恰好與拋物線相交于F，則四邊形ACEF為平行四邊形．

此時(shí)易得F點(diǎn)縱坐標(biāo)為，y＝．

當(dāng)y＝時(shí)，﹣x2+x+2＝0．

解得，x＝（舍去）或x＝．

此時(shí)F（，）．

如圖2﹣3，

以線段AC為對角線作AECF，過A作AG垂直于對稱軸直線于點(diǎn)G．過點(diǎn)F作FD⊥x軸交于點(diǎn)D．

∴AG＝1.5

又∵△AGE≌△CDF

∴CD＝1.5

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2.5，0）

∴當(dāng)x＝﹣2.5時(shí)，y＝﹣×（﹣）2+×（﹣）+2＝﹣

∴此時(shí)F（﹣，﹣）．

綜上所述，滿足題意的F點(diǎn)坐標(biāo)有，（，），（，），（﹣，﹣）．