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        1. 【題目】如圖,拋物線與x軸交于A(1,0)、B(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0,3),設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D.

          (1)求該拋物線的解析式與頂點(diǎn)D的坐標(biāo);

          (2)以B、C、D為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形嗎?為什么?

          (3)探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P,使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與BCD相似?若存在,請指出符合條件的點(diǎn)P的位置,并直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

          【答案】(1)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,4).(2)BCD為直角三角形.(3)符合條件的點(diǎn)有三個:O(0,0),,P2(9,0).

          【解析】

          試題分析:(1)已知了拋物線圖象上的三點(diǎn)坐標(biāo),可用待定系數(shù)法求出該拋物線的解析式,進(jìn)而可用配方法或公式法求得頂點(diǎn)D的坐標(biāo).

          (2)根據(jù)B、C、D的坐標(biāo),可求得BCD三邊的長,然后判斷這三條邊的長是否符合勾股定理即可.

          (3)假設(shè)存在符合條件的P點(diǎn);首先連接AC,根據(jù)A、C的坐標(biāo)及(2)題所得BDC三邊的比例關(guān)系,即可判斷出點(diǎn)O符合P點(diǎn)的要求,因此以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形也必與COA相似,那么分別過A、C作線段AC的垂線,這兩條垂線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)也符合點(diǎn)P點(diǎn)要求,可根據(jù)相似三角形的性質(zhì)(或射影定理)求得OP的長,也就得到了點(diǎn)P的坐標(biāo).

          試題解析:(1)設(shè)該拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,

          由拋物線與y軸交于點(diǎn)C(0,3),可知c=3,

          即拋物線的解析式為y=ax2+bx3,

          把A(1,0)、B(3,0)代入,

          解得a=1,b=2.

          拋物線的解析式為y=x22x3,

          頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,4).

          (2)以B、C、D為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形,

          理由如下:

          過點(diǎn)D分別作x軸、y軸的垂線,垂足分別為E、F.

          在RtBOC中,OB=3,OC=3,

          BC2=18,

          在RtCDF中,DF=1,CF=OFOC=43=1,

          CD2=2,

          在RtBDE中,DE=4,BE=OBOE=31=2,

          BD2=20,

          BC2+CD2=BD2,故BCD為直角三角形.

          (3)連接AC,則容易得出COA∽△CAP,又PCA∽△BCD,可知RtCOARtBCD,得符合條件的點(diǎn)為O(0,0).

          過A作AP1AC交y軸正半軸于P1,可知RtCAP1RtCOARtBCD,

          求得符合條件的點(diǎn)為

          過C作CP2AC交x軸正半軸于P2,可知RtP2CARtCOARtBCD,

          求得符合條件的點(diǎn)為P2(9,0).

          符合條件的點(diǎn)有三個:O(0,0),,P2(9,0).

          練習(xí)冊系列答案
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          1)試探究APBQ的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;

          2)當(dāng)AB=3,BP=2PC,求QM的長;

          3)當(dāng)BP=m,PC=n時,求AM的長.

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          (1)請用含x的代數(shù)式表示長方體盒子的底面積;

          (2)當(dāng)剪去的小正方形的邊長為多少時,其底面積是130cm2?

          (3)試判斷折合而成的長方體盒子的側(cè)面積是否有最大值?若有,試求出最大值和此時剪去的小正方形的邊長;若沒有,試說明理由.

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          BA

          CB

          DC

          -1.44

          -3.62

          7.16

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