Question

【題目】如圖，直線 y=﹣x+2 與反比例函數(shù) y=（k≠0）的圖象交于 A（a，3）、B（3，b）兩點(diǎn)，直線 AB 交 y 軸于點(diǎn) C、交 x 軸于點(diǎn) D．

(1)請(qǐng)直接寫出 a=_______，b=______，反比例函數(shù)的解析式為_______．

(2)在 x 軸上是否存在一點(diǎn) E，使得∠EBD=∠OAC，若存在請(qǐng)求出點(diǎn) E 的坐標(biāo)， 若不存在，請(qǐng)說明理由．

(3)點(diǎn)P 是 x 軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) Q 是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，是以 A、B、P、Q 為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，若存在請(qǐng)求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】(1)-1，-1，-3；(2)滿足條件的點(diǎn) E 坐標(biāo)為（0，0）或（，0）；(3)滿足條件的點(diǎn) Q 坐標(biāo)為（0，﹣4）或（0，4）或（1+，2）或（1﹣，2）．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法即可解決問題；

分兩種情形：①當(dāng)點(diǎn) E 與 O 重合時(shí)，∠EBD=∠OAC，此時(shí) E（0，0）．②作 BE′∥OA，則∠E′BD=∠OAC，分別求解即可解決問題；

分四種情形畫出圖形，分別求解即可解決問題；

(1)∵A（a，3）、B（3，b）兩點(diǎn)在 y=﹣x+2 上，

∴a=﹣1，b=﹣1，

∴A（﹣1，3），（3，﹣1），

∵A（﹣1，3）在 y=上，

∴k=﹣3．

故答案為﹣1，﹣1，﹣3．

如圖 1 中，連接 OB．

∵A（﹣1，3），B（3，﹣1），

∴OA=OB= ，

∴∠OAC=∠OBD，

∴當(dāng)點(diǎn) E 與 O 重合時(shí)，∠EBD=∠OAC，此時(shí) E（0，0）．作 BE′∥OA，則∠E′BD=∠OAC，

由題意 D（2，0），

∴AD= =3，BD= = ，

∵ BE′∥OA，

∴

∴ ，

∴DE′=

∴OE′= ，

∴E′（，0），

綜上所述，滿足條件的點(diǎn) E 坐標(biāo)為（0，0）或（，0）．

存在．如圖 2 中：

①當(dāng)四邊形 AP1Q1B 是矩形時(shí)，易知 P1（﹣4，0），

點(diǎn) B（3，﹣1）向左平移 3 個(gè)單位，向下平移 3 個(gè)單位得到 Q1（0，﹣4）；

②當(dāng)四邊形 BP2Q2A 是矩形時(shí)，P2（4，0），

點(diǎn) A（3．﹣1）向右平移一個(gè)單位，向上平移一個(gè)單位得到 Q2（0，4）．

③當(dāng) AB 是矩形的對(duì)角線時(shí)，設(shè) AB 的中點(diǎn)為 R（1，1），設(shè) P3（m，0），

∵RP=2，

∴（1﹣m）2+12=（2 ）2，

∴ m=1+ 或 1﹣，

∴P3（1﹣，0），P4（1+，2），

∴Q3（1+，2），Q4（1﹣，2），

綜上所述，滿足條件的點(diǎn) Q 坐標(biāo)為（0，﹣4）或（0，4）或（1+，2）或（1-，2）．