Question

如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=

k

x

(k＜0)y上一點(diǎn)，作AB⊥x軸于點(diǎn)B，且△AOB的面積為2，點(diǎn)A坐標(biāo)為（-1，m）．
（1）求k和m的值．
（2）若直線y=ax+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，交另一支雙曲線于點(diǎn)C，求△AOC的面積．
（3）指出x取何值時(shí)，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值，直接寫(xiě)出結(jié)果．
（4）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PAC的面積為6？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)△AOB的面積求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)確定出反比例函數(shù)的解析式即可．
（2）將△AOC分成△AOM和COM兩部分進(jìn)行求解．先根據(jù)直線AC的解析式經(jīng)過(guò)點(diǎn)A求出a的值，再求出M的坐標(biāo)，即可得出OM的長(zhǎng)，然后根據(jù)A、C的縱坐標(biāo)即可求出△AOC的面積；
（3）由圖象，根據(jù)A、C的橫坐標(biāo)即可得出答案．
（4）假設(shè)存在，設(shè)P（0，c），由S_△PAC=S_△PNA+S_△PNC即可求解．

解答：解：（1）在Rt△OAB中，OB=1，S_△OAB=2，∴AB=4，
即A（-1，4），∴m=4，把A（-1，4）代入反比例函數(shù)y=

k

x

(k＜0)
∴k=-4，
即m=4，k=-4．

（2）根據(jù)y=ax+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，4），∴4=-a+3，∴a=-1，
則根據(jù)若直線y=-x+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，交另一支雙曲線于點(diǎn)C，解得：C（4，-1），
設(shè)直線AC與x軸交于點(diǎn)M，則M（3，0），
∴OM=3，∴S_△AOC=S_△AOM+S_△OCM=

1

2

×3×4+

1

2

×3×1=

15

2

，

（3）由圖象知，當(dāng)-1＜x＜4時(shí)，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值；

（4）假設(shè)存在，設(shè)P（0，c），直線AC與y軸交于點(diǎn)N，則N（0，3），
∴由S_△PAC=S_△PNA+S_△PNC=

1

2

×|c-3|×1+

1

2

×|c-3|×4=6，
解得：c=

3

5

或c=

27

5

，即P（0，

3

5

）或P（0，

27

5

），
故存在P使△PAC的面積為6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查反比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法等知識(shí)及綜合應(yīng)用知識(shí)、解決問(wèn)題的能力，難度較大，關(guān)鍵掌握用待定系數(shù)法解函數(shù)的解析式．