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        1. 【題目】如圖1,在RtABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,過點DAC的平行線交AB于點O,DEADAB于點E.

          (1)求證:點OAE的中點;

          (2)若點FAC邊上一點,且OF=OA,連接EF,如圖2,判斷EFAC的位置關系,并說明理由;

          (3)在(2)的條件下,試探究線段AE、AF、AC之間滿足的等量關系,并說明理由

          【答案】1)見解析;(2EFAC,理由見解析;(3AE+AF=2AC,理由見解析.

          【解析】

          1)根據(jù)直角三角形、角平分線和平行線的性質(zhì)證明∠ODA=OAD,∠OED=ODE,進而得出OD=OA,OD=OE即可解決問題;
          2)結論:EFAC.先證明OF=OE=OA,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和是180°即可解決問題;
          3)結論:AE+AF=2AC.延長EDAC的延長線于M.證明AE=AM,CM=CF即可解決問題.

          證明:如圖1中,

          AD平分∠BAC,
          ∴∠CAD=BAD,
          ODAC,
          ∴∠ODA=DAC,
          ∴∠ODA=OAD
          OD=OA,
          DEAD,
          ∴∠ADE=90°,
          ∴∠EDO+ADO=90°,∠DEO+OAD=90°,
          ∴∠OED=ODE,
          OD=OE,
          OE=OA,
          ∴點OAE的中點;
          2)解:結論:EFAC
          理由:如圖2中,

          OF=OA,OA=OE,

          OF=OE,∠OFA=OAF,

          ∴∠OEF=OFE,

          ∵∠OEF+OFE+OFA+OAF=180°

          ∴∠OFE+OFA=90°,即∠EFA=90°,
          EFAC;
          3)解:如圖3中,結論:AE+AF=2AC

          理由:延長EDAC的延長線于M
          ADEM
          ∴∠ADM=ADE=90°,
          ∴∠M+DAM=90°,∠AED+DAE=90°,
          ∵∠DAM=DAE
          ∴∠M=AED,
          AE=AM
          DM=DE,
          ∵∠DCA=EFA=90°
          DCEF,
          DM=DE,
          CM=CF,
          AE-AF=AM-AF=FM=2CF,AC-AF=CF
          AE-AF=2AC-AF),
          AE+AF=2AC

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