Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸相交的于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．

（1）直接寫出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的對稱軸；

（2）連接BC，與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P不與C，B兩點(diǎn)重合），過點(diǎn)P作PF∥DE交拋物線于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．

①用含m的代數(shù)式表示線段PF的長，并求出當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形．

②設(shè)△BCF的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)m為何值時(shí)，S有最大值．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），拋物線對稱軸為直線x=1；（2）①PF=﹣m2+3m，當(dāng)m=2時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形；②S=﹣m2+m（0＜m＜3），當(dāng)m=時(shí)，S取得最大值．

【解析】

試題分析：（1）對于拋物線解析式，令y=0求出x的值，確定出A與B坐標(biāo)，令x=0求出y的值確定出C的做準(zhǔn)備，進(jìn)而求出對稱軸即可；（2）①根據(jù)B與C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法確定出直線BC解析式，進(jìn)而表示出E與P坐標(biāo)，根據(jù)拋物線解析式確定出D與F坐標(biāo)，表示出PF，利用平行四邊形的判定方法確定出m的值即可；②連接BF，設(shè)直線PF與x軸交于點(diǎn)M，求出OB的長，三角形BCF面積等于三角形BFP面積加上三角形CFP面積，列出S關(guān)于m的二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)性質(zhì)確定出S取得最大值時(shí)m的值即可．

試題解析：（1）對于拋物線y=﹣x2+2x+3，

令x=0，得到y(tǒng)=3；

令y=0，得到﹣x2+2x+3=0，即（x﹣3）（x+1）=0，

解得：x=﹣1或x=3，

則A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），拋物線對稱軸為直線x=1；

（2）①設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為y=kx+b，

把B（3，0），C（0，3）分別代入得：，

解得：k=﹣1，b=3，

∴直線BC的解析式為y=﹣x+3，

當(dāng)x=1時(shí)，y=﹣1+3=2，

∴E（1，2），

當(dāng)x=m時(shí)，y=﹣m+3，

∴P（m，﹣m+3），

令y=﹣x2+2x+3中x=1，得到y(tǒng)=4，

∴D（1，4），

當(dāng)x=m時(shí)，y=﹣m2+2m+3，

∴F（m，﹣m2+2m+3），

∴線段DE=4﹣2=2，

∵0＜m＜3，

∴yF＞yP，

∴線段PF=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m，

連接DF，由PF∥DE，得到當(dāng)PF=DE時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形，

由﹣m2+3m=2，得到m=2或m=1（不合題意，舍去），

則當(dāng)m=2時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形；

②連接BF，設(shè)直線PF與x軸交于點(diǎn)M，由B（3，0），O（0，0），可得OB=OM+MB=3，

∵S=S△BPF+S△CPF=PFBM+PFOM=PF（BM+OM）=PFOB，

∴S=×3（﹣m2+3m）=﹣m2+m（0＜m＜3），

則當(dāng)m=時(shí)，S取得最大值．